6.1 二元一次方程组PPT配套教学设计内容

6.1

二元一次方程组

了解二元一次方程和它的解,二元一次方程组和它的解,会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解.

会把一些简单的实际问题中的数量关系用二元一次方程组表示出来.

通过实例,使学生认识二元一次方程和二元一次方程组都能反映数量关系.

【重点】

1.了解二元一次方程组和它的解.

2.会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解.

【难点】

用方程组表示简单实际问题中的数量关系.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P2~4.

导入:

篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?

在上面的问题中,要求的有两个未知数,如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发开始本章的学习.

[设计意图]

借助于教材情境直接提出用含有两个未知数的方程解决问题,为引入二元一次方程的概念做了铺垫,也让学生感受到要想提高解决生活中数学问题的能力,必须持续地进行学习.

[过渡语]

方程是解决实际问题的重要数学工具,我们已经学习了一元一次方程,从本节开始,我们继续研究二元一次方程组的相关知识.

活动1

感知二元一次方程

1.感知应用二元一次方程解决问题的便利性

某酒厂有大小两种存酒的木桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒28升,1个大桶加上5个小桶可以盛酒20升.那么,1个大桶和1个小桶分别可盛酒多少升?

观察下面解决问题的过程:

方法一:设一个未知数

设1个大桶盛酒x升,则1个小桶盛酒(28-5x)升.

根据题意,列方程,得x+5(28-5x)=20.

解这个一元一次方程,得x=5.

从而,得28-5x=3.

即1个大桶盛酒5升,1个小桶盛酒3升.

【追问】

(1)方程x+5(28-5x)=20为什么是一元一次方程?

(2)上述方程的解是什么?

(3)能否说方程的解是“5升”?

[设计意图]

一元一次方程的相关定义对于二元一次方程具有类比性,通过追问既能帮助学生理解以往的知识,也能为学习新的知识做铺垫.

方法二:设两个未知数

设1个大桶盛酒x升,1个小桶盛酒y升.

根据题意,可得方程:

5x+y=28,①

x+5y=20.②

大桶和小桶的容积应当是同时满足方程①和②的未知数的值.

【追问】

(1)比较方程x+5(28-5x)=20和方程5x+y=28及x+5y=20,它们的共同点是什么,不同点是什么?

(共同点是它们都是方程;不同点是前者是用一个方程来表示数量关系的,其中进行了一次运算(28-5x),后者是直接用两个方程来表示数量关系的.)

(2)x=5,y=3是否同时满足方程①和②?

(所给值同时满足方程①和②.)

[设计意图]

通过观察思考,体会到同一个问题中的数量关系,通过设一个或两个未知数都可以表示出来,但用两个未知数来表示更便于列出方程.

2.二元一次方程的相关定义

像5x+y=28和x+5y=20这样,含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.

使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做这个二元一次方程的一组解.

如x=5,y=3是方程5x+y=28的一组解,也是方程x+5y=20的一组解.一般地,将二

元一次方程的一组解记为

的形式.

活动2

尝试列二元一次方程

1.试着做做

已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12,甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.

(1)列一元一次方程求解.

(设甲数为x,则乙数为

(12-2x),列方程为3x-

(12-2x)=5.解得x=3,则

(12-2x)=2.故甲数是3,乙数是2.)

(2)如果设甲数为x,乙数为y,请根据问题中的等量关系,列出含两个未知数的一组方程.

(2x+3y=12,3x-2y=5.)

(3)用一元一次方程求得的甲数和乙数,代入(2)中所列的这组方程中,检验方程两边是否相等.

(相等.)

[设计意图]

进一步让学生体会由列一元一次方程求得的解,满足含有两个未知数的两个二元一次方程.

2.大家谈谈

结合以上两个问题,请你谈谈列“含一个未知数”的方程和列“含两个未知数”的方程的区别与联系.

(区别:含有未知数的个数不同.联系:它们都是方程,含有“一个未知数”的方程实质上进行了一次运算,含有“两个未知数”的方程是把等量关系直接表示了出来.)

活动3

探究二元一次方程组的相关定义

1.对于二元一次方程,任意给定未知数x的一个值,你能求出满足方程的未知数y的值吗?填写下表.

x

…

2 3 4 5 …

2x+3y=12 y

…

…

x

…

2 3 4 5 …

3x-2y=5 y

…

…

2.分别写出方程2x+3y=12和方程3x-2y=5的四组解.你还能找出这两个方程的其他解吗?一个二元一次方程有多少组解?

【处理方式】

前两个问题学生自主完成后交流.

[设计意图]

帮助学生复习方程解的含义,初步发现和领会二元一次方程解的不确定性.

3.是否有同时满足这两个方程的一组解?若有,请你指出是哪组解.

【处理方式】

引导学生进行大胆猜测和尝试.

[设计意图]

在前面探究活动的基础上,引导学生探索发现有适合上述两个方程的共同解,进而为总结方程组的定义和方程组解的定义做认知准备.

4.总结相关定义.

由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.

一般地,二元一次方程组记作

的形式,而

是这个方程组的解.

-

现阶段,我们只研究含有两个方程的二元一次方程组.

[知识拓展]

二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,才能是这个方程组的解,而一元一次方程的解是一个数,这是它们之间的区别.

1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.

2.使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做这个二元一次方程的一组解.

3.由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.

6.1

二元一次方程组

活动1

感知二元一次方程

活动2

尝试列二元一次方程

活动3

探究二元一次方程组的相关定义