29.1 点与圆的位置关系优秀教学设计

2016-2017学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分）

1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）

A． B．

C．

D．

2．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（

）

A．2米 B．3米 C．5米 D．6米

3．将一元二次方程3x2﹣5=4x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（

）

A．﹣3，4 B．3，﹣4 C．﹣3，﹣4 D．3，4

4．下列事件中，属于必然事件的是（

）

A．任意画一个三角形，其内角和为360°

B．打开电视机，正在播放里约奥运会的比赛项目

C．400人中至少有两个人的生日在同一天

D．经过交通信号灯的路口，遇到绿灯

5．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是（

）

A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k＞﹣2 D．k=﹣2

6．下列命题中，属于真命题的是（

）

A．圆周角等于圆心角的一半

B．在同一圆中，等弧所对的圆周角相等

C．平分弦的直线垂直于弦

D．过弦的中点的直线必经过圆心

第1页（共29页）

7．某品牌LED电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的4000元降到了2980元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（

）

A．4000（1+x）2=2980 B．2980（1+x）2=4000

C．2980（1﹣x）2=4000 D．4000（1﹣x）2=2980

8．AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如图，∠ABD=62°，则∠DCB的度数为（

）

A．28°

B．30°

C．59°

D．62°

9．在一个不透明的盒子中装有12个红球，若干个篮球，它们除颜色不同外，其

余均相同，若从中随机摸出一个球为红球的概率是，则篮球的个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．9

10．如图，将边长为4cm的正方形ABCD绕点S顺时针旋转到四边形AB′C′D′的位置，旋转角为30°，则C点运动到C′点的路径长为（

）

A．πcm

B．πm C．

cm D．

cm

11．已知⊙O的面积为4π，则其内接正方形的面积为（

）

A．2 B．4 C．8 D．16

12．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（

）

A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3

13．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则（

）

第2页（共29页）

的值为

A．

B．

C．

D．

14．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P，若PA=4，PB=12，则CP的长为（

）

A．2 B．4 C．8 D．4

15．已知点（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函数y=x2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（

）

A．y1＞y2＞y3

B．y3＞y1＞y2

C．y3＞y2＞y1

D．y2＞y1＞y3

16．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论，其中正确结论是（

）

A．b2＜4ac

B．2a+b=0

C．a+b+c＞0

D．若点B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2

二、填空题(本大题共4个小题，每小题2分，共8分）

第3页（共29页）

17．给出一种运算，对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣2﹣1，若函数y=x5，则有y′=5x3﹣1．已知函数y=x4，则方程y′=3x的解的和为

．

18．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是

．

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，

D两点间的距离为

．使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、

20．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是

．

三、解答题（本大题共6个小题，共50分）

21．解方程：

（1）2x2﹣7x+3=0

（2）x（x﹣2）=x．

22．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．

（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．

（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不第4页（共29页）

相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．

23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：

①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；

②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，

③△A1B1C1中顶点A1坐标为

．

24．BC于点D，如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径的⊙O分别交AB，E，点F在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC．

（1）求∠ADE的度数．

（2）求证：直线CF是⊙O的切线．

25．已知二次函数y=mx2﹣5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．

（1）求点A，B的坐标；

（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时，△MAO的周长最小．

26．问题提出

第5页（共29页）

平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？

初步思考

设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．

（1）当C、D在线段AB的同侧时．

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是

．

如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB

∠ADB；

如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB

∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

．

类比学习

（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

．

拓展延伸

（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB

作法：①连接CA、CB

②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；

③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；

第6页（共29页）

④连接F、E并延长，交直径AB与M；

⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．

请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

第7页（共29页）

2016-2017学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分）

1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）

A． B．

C．

D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．

故选：C．

2．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（

）

A．2米 B．3米 C．5米 D．6米

【考点】二次函数的应用．

第8页（共29页）

【分析】根据二次函数的解析式，可以得到二次函数的最大值，从而可以解答本题．

【解答】解：∵h=﹣3（t﹣2）2+5，

∴当t=2时，h取得最大值，此时h=5，

故选C．

3．将一元二次方程3x2﹣5=4x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（

）

A．﹣3，4 B．3，﹣4 C．﹣3，﹣4 【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．

【解答】解：化为一般式，得

3x2﹣4x﹣5=0，

二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，

故选：B．

4．下列事件中，属于必然事件的是（

）

A．任意画一个三角形，其内角和为360°

B．打开电视机，正在播放里约奥运会的比赛项目

C．400人中至少有两个人的生日在同一天

D．经过交通信号灯的路口，遇到绿灯

【考点】随机事件．

【分析】根据事件的确定性和不确定性，以及随机事件的含义和特征，逐项判断即可．

【解答】解：∵任意画一个三角形，其内角和为360°是一个不可能事件，

∴选项A不正确；

D．3，4

∵打开电视机，正在播放里约奥运会的比赛项目是一个随机事件，

第9页（共29页）

∴选项B不正确；

∵400人中至少有两个人的生日在同一天是必然事件，

∴选项C正确；

∵经过交通信号灯的路口，遇到绿灯是一个随机事件，

∴选项D不正确．

故选：C．

5．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是（

）

A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k＞﹣2 D．k=﹣2

【考点】根的判别式．

【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×1×（﹣2k）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=42﹣4×1×（﹣2k）＞0，

解得k≥﹣2．

故选A．

6．下列命题中，属于真命题的是（

）

A．圆周角等于圆心角的一半

B．在同一圆中，等弧所对的圆周角相等

C．平分弦的直线垂直于弦

D．过弦的中点的直线必经过圆心

【考点】命题与定理．

【分析】利用圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故错误，是假命题；

B、在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题；

C、平分弦（不是直径）的直线垂直于弦，故错误，是假命题；

第10页（共29页）

D、过弦的中点且垂直于弦的直线必经过圆心，故错误，是假命题，

故选B．

7．某品牌LED电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的4000元降到了2980元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（

）

A．4000（1+x）2=2980 B．2980（1+x）2=4000

C．2980（1﹣x）2=4000 D．4000（1﹣x）2=2980

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．

【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：4000（1﹣x），

则第二次降价后的售价为：4000（1﹣x）（1﹣x）=4000（1﹣x）2，

∴4000（1﹣x）2=2980．

故选D．

8．AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如图，∠ABD=62°，则∠DCB的度数为（

）

A．28°

B．30°

C．59°

D．62°

【考点】圆周角定理．

【分析】先根据∠ABD=62°得出论．

【解答】解：∵∠ABD=62°，

∴∴=2×62°=124°，

=180°﹣124°=56°，

的度数，进而可得出的度数，由此可得出结∴∠DCB=×56°=28°．

故选A．

第11页（共29页）

9．在一个不透明的盒子中装有12个红球，若干个篮球，它们除颜色不同外，其

余均相同，若从中随机摸出一个球为红球的概率是，则篮球的个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．9

【考点】概率公式．

【分析】根据概率公式列出方程求解可得．

【解答】解：设篮球有x个，

根据题意可得，解得：x=9，

经检验x=9是原分式方程的解，

即蓝球有9个，

故选：D．

10．如图，将边长为4cm的正方形ABCD绕点S顺时针旋转到四边形AB′C′D′的位置，旋转角为30°，则C点运动到C′点的路径长为（

）

=，

A．πcm

B．πm C．

cm D．

cm

【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质．

【分析】如图，作辅助线；首先求出AC的长度，然后运用弧长公式即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AC、A′C．

第12页（共29页）

∵四边形ABCD为边长为4的正方形，

∴∠B=90°，AB=BC=4，

由勾股定理得：AC=4，

由题意得：∠CAC′=30°，

∴点C的旋转路径长=故选B

11．已知⊙O的面积为4π，则其内接正方形的面积为（

）

A．2 B．4 C．8 D．16

，

【考点】正多边形和圆．

【分析】作辅助线，根据圆的面积公式求出半径；根据勾股定理求出对角线长问题即可解决．

【解答】解：如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，连接AC、BD；

设⊙O的半径为R，则πR2=4π，

∴R=2；

又∵∠ABC=90°，

∴AC为⊙O的直径，AC=2R=4；

∴其内接正方形的面积=×4×4=8，

故选C．

12．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），第13页（共29页）

则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（

）

A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．

【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），

∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．

∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．

∴1+t=4，

解得

t=3．

即方程的另一根为3．

故选：D．

13．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则（

）

的值为

A．

B．

C．

D．

【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．

【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC=a，则CN=2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x，由勾股定理得出x2+x2=（2a）2，求出x=得出CD=a，代入求出即可．

a，【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，

∴∠ECN=75°，

第14页（共29页）

∵∠ECD=45°，

∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，

∵AO⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∴∠ONC=30°，

设OC=a，则CN=2a，

∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，

∴△CMN也是等腰直角三角形，

设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，

x=a，

a，

=，

即CD=CM=∴=故选C．

14．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P，若PA=4，PB=12，则CP的长为（

）

A．2 B．4 C．8 D．4

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】根据垂径定理得到CP=PD，根据相交弦定理计算即可．

【解答】解：∵直径AB垂直于弦CD，

∴CP=PD，

由相交弦定理得，CP•PD=PA•PB=4×12=48，

解得，CP=4故选：D．

第15页（共29页）

，

15．已知点（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函数y=x2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（

）

A．y1＞y2＞y3

B．y3＞y1＞y2

C．y3＞y2＞y1

D．y2＞y1＞y3

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】将三个点的坐标分别代入函数关系式，求出y1，y2，y3的值，从而得解．【解答】解：y1=（﹣3）2+1=9+1=10，

y2=（﹣2）2+1=4+1=5，

y3=（﹣1）2+1=1+1=2，

所以，y1＞y2＞y3．

故选A．

16．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论，其中正确结论是（

）

A．b2＜4ac

B．2a+b=0

C．a+b+c＞0

D．若点B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据抛物线与x轴交点个数可判断选项A；根据抛物线对称轴可判断选项B；根据抛物线与x轴的另一个交点坐标可判断选项C；根据函数图象的性质可判断选项D．

【解答】解：A、∵由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0即b2＞4ac，故本题选项错误；

B、∵对称轴为直线x=﹣1，

第16页（共29页）

∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，故本选项错误；

C、∵抛物线与x轴的交点A坐标为（﹣3，0）且对称轴为x=﹣1，

∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），

∴将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0，故本选项错误；

D、∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，抛物线的开口向下，

∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，

∵﹣1＜＜，点B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，

∴y1＜y2，故本选项正确；

故选D．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题2分，共8分）

17．给出一种运算，对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣2﹣1，若函数y=x5，则有y′=5x3﹣1．已知函数y=x4，则方程y′=3x的解的和为

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】根据新运算的定义列出方程，解方程即可．

【解答】解：∵y=x4，

∴y′=4x2﹣1，

∴4x2﹣1=3x，

则4x2﹣3x﹣1=0，

解得，x1+x2=，

则方程y′=3x的解的和为，

故答案为：．

18．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是

m≥﹣2

．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得第17页（共29页）

．

解．

【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，

∴﹣m≤2，

解得m≥﹣2．

故答案为：m≥﹣2．

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为

．

=﹣m，

【考点】旋转的性质；勾股定理．

【分析】由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．

【解答】解：

在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，

∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，

∴BE=AB﹣AE=5﹣4=1，

连接BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=即B、D两点间的距离为故答案为：．

，

==，

第18页（共29页）

20．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是

﹣2＜k＜

．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．

【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，

∴直线OA的解析式为y=x，

联立x2﹣2x+2k=0，

消掉y得，

△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，

即k=时，抛物线与OA有一个交点，

此交点的横坐标为1，

∵点B的坐标为（2，0），

∴OA=2，

第19页（共29页）

∴点A的坐标为（，），

∴交点在线段AO上；

当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，

解得k=﹣2，

∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．

故答案为：﹣2＜k＜．

三、解答题（本大题共6个小题，共50分）

21．解方程：

（1）2x2﹣7x+3=0

（2）x（x﹣2）=x．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；

（2）直接利用提取公因式法分解因式得出答案．

【解答】解：（1）2x2﹣7x+3=0

（2x11）（x﹣3）=0，

解得：x1=0，x2=3；

（2）x（x﹣2）=x

x（x﹣3）=0，

解得：x1=0，x2=3．

22．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．

（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．

（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不第20页（共29页）

相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．

【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；

（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．

【解答】解：（1）画树状图得：

∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），

∴（a，b）取值结果共有9种；

（2）∵当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，

当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，

当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，

当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，

当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，

当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，

当a=1，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，

当a=1，b=3时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，

当a=1，b=2时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，

∴P（甲获胜）=P（△＞0）=＞P（乙获胜）=，

∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．

第21页（共29页）

23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：

①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；

②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，

③△A1B1C1中顶点A1坐标为

（1，﹣2）

．

【考点】作图﹣旋转变换；中心对称．

【分析】①把△ABC绕着点O旋转180°，得到△A1B1C1，那么这两个三角形关于这个点成中心对称；

②按照旋转角度、旋转方向、旋转中心进行作图即可；

③在直角坐标系中，点A1在第四象限，距离x轴2个单位，距离y轴1个单位，据此求得其坐标．

【解答】解：①如图，△ABC与△A1B1C1关于原点O的中心对称；

②如图，△AB2C2是由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的三角形；

③由图可得，△A1B1C1中顶点A1坐标为（1，﹣2）．

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24．BC于点D，如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径的⊙O分别交AB，E，点F在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC．

（1）求∠ADE的度数．

（2）求证：直线CF是⊙O的切线．

【考点】切线的判定；等边三角形的性质；圆周角定理．

【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可以求得∠ADE的度数．

（2）欲证明直线CF是⊙O的切线，只需推知∠ACF=90°．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ACE=60°，

∴∠ADE=180°﹣∠ACE=120°；

（2）∵⊙O的直径是AC，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴∠BAE=∠CAE．

∵2∠BCF=∠BAC，

第23页（共29页）

∴∠BCF=∠CAE．

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．

又AC是直径，

∴直线CF是⊙O的切线．

25．已知二次函数y=mx2﹣5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．

（1）求点A，B的坐标；

（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时，△MAO的周长最小．

【考点】二次函数的性质；轴对称﹣最短路线问题．

【分析】（1）令x=0可求得y=1，可求得A点坐标，再利用对称性可求得B点坐标；

（2）可先求得直线OB解析式，当点M运动到直线OB与二次函数对称轴的交点时，满足条件，可求得M点的坐标．

【解答】解：∵

（1）当x=0时，y=1，则点A的坐标为（0，1），

∵抛物线对称轴为x==，

∴B点坐标为（5，1）；

（2）设直线OB解析式为y=kx，把B（5，1）代入可得5k=1，解得k=，

∴直线OB解析式为y=x，

由轴对称的性质可知当点M运动到直线OB与二次函数对称轴的交点时，△MAO的周长最小．

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当x=时，y=，

∴M点的坐标为（，）．

26．问题提出

平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？

初步思考

设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．

（1）当C、D在线段AB的同侧时．

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是

同弧所对的圆周角相等

．

如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB

＜

∠ADB；

如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB

＞

∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上

．

类比学习

（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条第25页（共29页）

件：

当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上

．

拓展延伸

（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB

作法：①连接CA、CB

②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；

③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；

④连接F、E并延长，交直径AB与M；

⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．

请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

【考点】圆的综合题；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；圆周角定理．【分析】（1）∠ACB=∠ADB的依据是：同弧所对的圆周角相等．利用圆周角定理及三角形的外角性质，即可得到圆外角、圆周角、圆内角三者之间的关系，进而得到四点共圆的判定方法．

（2）利用圆周角的度数与所对弧的度数的关系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再结合三角形的外角性质，即可得到点D在圆内、圆外时∠ACB+∠ADB与180°的大小关系，进而得到四点共圆的判定方法．

（3）由（2）中的结论可证到：点E、D、B、M在同一个圆上，从而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可证到CN∥EM，进而可证到CN⊥AB．

【解答】解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB．

②如图②，延长BD交⊙O于点E，

∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB

∴∠ACB＜∠ADB．

第26页（共29页）

③如图③，连接AF，

∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB

∴∠ACB＞∠ADB．

故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、

当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．（2）①如图④，

∵与的度数之和等于360°，

度数的一半，

度数的一半，

且∠ADB的度数等于∠ACB的度数等于∴∠ACB+∠ADB=180°．

②如图⑤，延长AD交⊙O于点E，连接BE，

∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，

∴∠ACB+∠ADB＞180°．

③如图⑥，连接BF，

∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，

∴∠ACB+∠ADB＜180°．

故答案为：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．

当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．

（3）图⑦即为所求作．

∵AB是⊙0的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，

∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB．

∴∠EMB=90°．

∴∠EMB+∠EDB=180°．

∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示．

∴∠EMD=∠EBD．

∵∠CND=∠CBD，

∴∠CND=∠EMD．

第27页（共29页）

∴CN∥EM．

∴∠CHB=∠EMB．

∵∠EMB=90°，

∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

第28页（共29页）

2017年3月1日

第29页（共29页）