3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀教案案例

学案0012广州市禺山高级中学高二文科数学

课题：复数代数形式的加减运算及其几何意义

（选修1.2第三章3.2.2）

主备课人：

何淑萍

审核人：何远清；时间:第8周

班级：______;姓名：_________________________; 学号：

【课时安排】2课时

3．2.2

复数代数形式的乘除运算

[学习目标]

1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)

3.理解共轭复数的概念．(易混点) 一、复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad－bc)i．

二、复数乘法的运算律

对任意z1、z2、z3∈C，有

1．交换律：z1·z2＝z2·z1．

2．结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)．

3．乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．

三、共轭复数

如果两个复数满足实部相等、虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi．

四、复数的除法法则

z1a＋biac＋bd设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则z＝＝c＋dic2＋d22bc－ad＋2i(c＋di≠0)．

c＋d2

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(

)

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(2)若z∈C，则|z|2＝z2.(

) 2(3)若z1，z2∈C，且z21＋z1＝0，则z1＝z2＝0.(

)

2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于(

) A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

3．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝(

) A．－1

B．1C．－i

D．i 4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________．

复数代数形式的乘除法运算

(1)(2014·山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，

若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(

) A．3－4i

B．3＋4iC．4－3i

D．4＋3i （1＋i）3(2)(2014·课标全国卷Ⅰ)等于(

) （1－i）2A．1＋i

B．1－iC．－1＋i

D．－1－i （2＋2i）2（4＋5i）(3)计算＝________．

（5－4i）（1－i）

1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

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11332．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)＝±2i，－±i＝1，i＝－i，2221＋i1－i＝i，＝－i，i的幂周期性等，都可以简化复数的运算过程．

1－i1＋i

z＝13，试求z. 【思路探究】

设z＝x＋yi（x，y∈R）→由条件到方程组求x、y的值→z计算z的值

1．已知关于z和－z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

2．关于共轭复数的常用结论：

(1)z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质；

(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数；

(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z.

虚数单位i的幂的周期性及其应用

共轭复数及其应用

(2015·潍坊高二检测)已知复数z的共轭复数是z，且z－z＝－4i，z·z

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－23＋i22 014

(1)计算：＋；

1＋23i1－i1＋i(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 014的值．

1－i【思路探究】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．

i（1＋23i）221 007【自主解答】

(1)原式＝＋

1＋23i1－i21 007×＋＝i＋－2i＝i＋i1 007＝i＋i42513＝i＋i3＝0.

2 0151－z(2)1＋z＋z2＋…＋z2 014＝，

1－z1＋i（1＋i）22i而z＝＝＝2＝i，

1－i（1－i）（1＋i）2 01531－i1－i1＋i22 014所以1＋z＋z＋…＋z＝＝＝＝i.

1－i1－i1－i

1．要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

在本例(2)中，若z＝

1．复数代数形式的乘除运算．

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再1－i，求1＋z＋z2＋…＋z2 014的值．

1＋i

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把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．

待定系数法在复数中的应用

(12分)求3＋4i的平方根．

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，在解决复数问题中，常用待定系数法设出z＝a＋bi(a，b∈R)，然后依据复数相等的充要条件列出等式或方程来解决．

——[类题尝试]—————————————————

已知|z|＝5，且(3＋4i)z是纯虚数，则z＝________．

课时作业(十一) －1．(2014·陕西高考)已知复数z＝2－i，则z·z的值为(

) A．5

B.5C．3

D.3 2．(2014·天津高考)i是虚数单位，复数7＋i＝(

) 3＋4i17311725A．1－i

B．－1＋iC.25＋25i

D．－7＋7i 23．z1，z2是复数，且z21＋z2<0，则正确的是(

) 2A．z21<－z2B．z1，z2中至少有一个是虚数

C．z1，z2中至少有一个是实数D．z1，z2都不是实数

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4．若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝(

) A．1±3i

B．3±iC．3＋i

D．3－i 5．(2014·北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．

6．(2015·天津高二检测)复数7．复数5的共轭复数是________．

2－i2－2ai的模为2，则实数a的值是________．

a＋2i三、解答题

8．(2015·唐山高二检测)若z满足z－1＝3(1＋z)i，求z＋z2的值．

9．(2015·天津高二检测)已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数；

(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

[能力提升层次]

1．(2014·江西高考)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(

) A．1

B．2C.2

D.3 112．设z的共轭复数为z，z＝1＋i，z1＝z·z，则z＋iz等于(

) 11113A.2＋i

B.2－iC.2

D.2

3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．

①|z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－z|≥2x；

|z|≤|x|＋|y|.

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（1＋i）2＋3（1－i）a4．复数z＝，若z2＋z<0，求纯虚数a. 2＋i