1.3 二项式定理（通用）公开课参赛课教案

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：3课时

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

⑵(ab)a3ab3abbC3aC3abC3abC3b

222021223322303122233⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a的系数是03220112；恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，abC444322344ab的系数是C4，的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，有4都取b的情况有C4种，23344b4的系数是C4，

3

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

404132223344二、讲解新课：

二项式定理：(ab)CnaCnabnn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

n0n0恰有r个取b的情况有Cn种，annrnrrbr的系数是Cn，……，

n有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

∴(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

n这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,⑷Cnarnrrrn)叫二项式系数，

rnrrb叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

rrCnxn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)1Cnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(1)．

1x41414464111112313(1)1C()C()C()()1234．

解一：

444xxxxxxxxx4444413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()444

xxx1111

4641234．

xxxx

例2．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx112321[(2x)6C6(2x)5C6(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)1]

3x6012123．

xxx64x3192x2240x16012例3．求(xa)的展开式中的倒数第4项

解：(xa)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

1291299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)，（2）(3b2a)的展开式中的第3项．

66解：（1）T21C6(2a)(3b)2160ab，

（2）T21C6(3b)(2a)4860ba．

点评：(2a3b)，(3b2a)的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

242422424266

例5．（1）求(x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

x（2）求(x339rx9r3rr2r9)C93x2，

解：∵Tr1C()(3xr9∴（1）当936r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2（2）(x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

x

T5C3

4989x9121594251093，T6C93x2378x3

x例6．（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

3（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

71x9解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)280x，

∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

7333（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x∴92r3，r3，

1x9r9r1()r(1)rC9rx92r，

x∴x的系数(1)C984，x的二项式系数C984．

例7．求(x3x4)的展开式中x的系数

2433333分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

2424显然，上式中只有第四项中含x的项，

∴展开式中含x的项的系数是C434768

33（法二）：(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

24444

*例8．已知f(x)12x14x

(m,nN)的展开式中含x项的系数为36，求展mn开式中含x项的系数最小值

2分析：展开式中含x项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，2

可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12x14x展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

mn∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

1112xm14x展开式中含x2的项的系数为

n22222Cn42m22m8n28n，

tCm∵m2n18，

∴m182n，

∴t2(182n)22(182n)8n28n16n148n612

216(n23715337*n)，∴当n时，t取最小值，但nN，

4482∴

n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例9．已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：2Cn11121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）

22163rrrr1rr8rC8(4)()C8x2x41rx4222x

∴Tr1Cr8x8r1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，

4∴0r8,rZ，∴

r0,4,8，

4即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x，T53512x，T9x

8256

例10．求0.998的近似值，使误差小于0.001．

6

解：0.998(10.002)C6C6(0.002)22660116C6(0.002)6，

展开式中第三项为C60.0020.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，

∴0.998(10.002)C6C6(0.002)0.998，

一般地当a较小时(1a)1na

n66011

四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x66123x)n的展开式的第r+1项. 4.求x32x的展开式的第4项的二项式系7数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)；（2）(5x25). 2x5121246.化简：（1）(1x)(1x)；（2）(2x3x7．xxlgx5)(2x3x) 12124展开式中的第3项为10，求x．

561 8．求x展开式的中间项

x2n答案：1.

T21C6(2a)2.

T21C6(3b)r3n262(3b)22160a4b2

262(2a)24860a2b4

3.

Tr1C(x)nrn2r1r3(3)Cnx

2x21rr4.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

3335.

（1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxx5526.

（1）(1x)(1x)220x10x；

（2）(2x3x)(2x3x)192x7.

xxlgx21212412124432

x展开式中的第3项为Cx5232lgx5106x32lgx105

510x10,x

210002lgx3lgx50lgx1,lgx1nn8.

x展开式的中间项为(1)C2n

x2n五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指(ab)nn1n22nrranC1bC2bCrb

nananan22233223Cnnb这样一个展开式的公式.它是(a+b)=a+2ab+b，(a+b)=a+3ab+3ab+b…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn1，同时lim(1－n1n)n=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足θ轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=11与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为xxnf(x0)f(x0)基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+n!1!f(n1)[x0(xx0)](xx0)n1(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深(n1)!入到高等数学的各个分支中.

怎样使二项式定理的教学生动有趣

正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再

用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实. 数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相［1］互作用”只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解. ［］MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”2在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.