小结教学设计第一课时

离散型随机变量的分布列及均值与方差教学设计

姓名

一、教学内容分析

1．教学重点：理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念。

2．教学难点：会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用

离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题。

二、教学目标

张迎春

年级学科

高三数学

1．知识目标：了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

2．能力目标：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。

3．情感目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受

到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。

让学生体验数学来源于生活，服务于生活，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新。

三、学习者特征分析

1.学生是教学的主体，本节课要给学生多种参与机会，本课以情境为载体，

以学生为主体，以问题为手段，激发学生的观察思考猜想探究的兴趣，

注重引导帮助学生体验从‘‘实际问题到数学问题’’的建构过程。

2.应用类比，归纳，转化的思想方法，得到分布列的性质，培养学生分析

问题、解决问题的能力。

3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用

数学”的意识以及解决实际问题的能力。

四、教学过程

采用发现式教学法为主，讲授式教学法为辅的教学方法，让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程，设置问题情境，要求学生思考、讨论、表述，充分发挥学生的抽象思维、逻辑思维和创造思维

(一) 复习回顾，巩固旧知

设计意图

师生活动：教师带领学生一起复习本章定义及常考知识点，设

复习巩固

1.离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母x,y,旧知，这

ξ,η,…表示,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随

样的学法

机变量.

符合学生

2.离散型随机变量的分布列

(1)定义: 的认知规

一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为

x1,x2,x3,.......xi,.......xn,x取每一个值xi (i=1,2,…,n)的概率为律，可以

P(X=xi)=pi,则表

X …

…

x1

x2

xi

xn

帮助学生

P …

…

p2

p1

pn

pi

称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了贯通知识

简单起见,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.

间的联

(2)分布列的性质

系，形成

① 1≥pi≥0,i=1,2,…,n;

npi系统的知

i1②=1.

识网络，

(3).均值与方差

称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的

逐步构建

值或

数学期望，它反映了离散型随机变量取值的

平均水平，称良好的认

n

2D(X)=(xiE(x)),pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X知结构，

i1

与其均值E(X)的

平均偏离程度,称其算术平方根D(X)为随机变量

从整体上

X的标准差。

掌握知

均值与方差的性质

识。

计的一些内容让学生自主回答。

①E(aX+b)=aE(X)+b.

②D(aX+b)= aD(x).(a,b为常数) 3 常见离散型随机变量的分布列

①两点分布

若随机变量X的分布列为

X 0 1 P 1-p p 则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. E(x)=p D(x)=p(1-p)

②超几何分布

一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则nkCkMCNMnCNP(X=k)=2

(k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*),称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列具有下表的形式,则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 …

m P

(3)二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率

．在n次独立重复试验中，kknkCp(1p)n事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ (k＝n0C0MCNMCnN

n1C1MCNMCnN

…

nmCmMCNMCnN

0,1,2，…，n)．

E(X)=np D(x)=np(1-p)

(二)夯基自测

师生活动:学生思考、讨论，教师巡视、倾听，获取反馈信息，适时引导，共同探究.

设计意图

1.已知离散型随机变量X的分布列为

X 1

2 3

33a P

5

10

则X的数学期望E(X)等于( )

35

22 (A) (B)2 (C) (D)3

331153

解析:E(X)=1×5+2×10+3×10=10=2.

故选A.

1k2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=2,k=1,2,…,则P(2

为牢固掌

等于( )

3115握本章常

(A)16

(B)4

(C)16

(D)16

3考知识，

解析:P(2

特出这一

3.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其 中的2篇才能及格,某同学能背诵其中的6篇,则他能及格的概率

部分练习

是

.

213C6C4C62题，使同

33

解析:C10+C10=3

学们在题

2

答案:3

目中熟掌

4.

5件产品中有1件次品,从中任取两件,其次品数为X,求X的分 握常考知

布列.

2C43识，并分

2C55 解:P(X=0)==,

各种不同

C1242的分布。

P(X=1)=C5=5.

则X的分布列为

X 0 1

32P

5

5

5．某光电公司生产的节能灯使用寿命超过30 000小时的为一

级品，现已知某批产品中的一级品率为0.2，从中任意抽出5件，

则5件中恰有2件为一级品的概率为________．

30.22(1－0.2)3＝0.204 8. 解析：由题意得，其概率P＝C5

6 已知随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(ξ<4)=0.3,那么 ( ) (A)n=3 (B)n=4 (C)n=10 (D)n无法确定

3解析:P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)= =0.3, n 所以n=10.故选C.

（三）考点专项突破

考点一 离散型随机变量的均值(期望)【高频考点】

设计意图

师生活动：教师带领学生认真读题，分析题目，挖掘题中信

引导学生

息，学生主动思考解决问题的办法。

从概率的

【例】 (2015高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需

时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统角度分析

计,结果如下:

T(分钟) 25 30 35 40 实际生活

频数(次) 20 30 40 10

中遇到的

(1)求T的分布列与数学期望E(T);

问题，让

解:(1)由统计结果可得T的频率分布为

学生发现

T(分钟) 25 30 35 40

频率

0.2 0.3 0.4 0.1 生活中存

以频率估计概率得T的分布列为

在的数学

T 25 30 35 40 问题，在

P 0.2 0.3 0.4 0.1

具体的生

从而E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).

活情境中

(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座, 结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用

体验数学

时间不超

过120分钟的概率.

来源于生

解: (2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,

且与T的分布

列相同. 活服务于

设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”, 由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的

生活的本

时间不超过70分钟”.

质。

法一

P(A)=P(T1+T2≤70)

=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤

35)+P(T1=40,T2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.

(教师备用)法二 P(A)=P(T1+T2>70)

=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)

=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.

故P(A)=1-P(A)=0.91.

反思归纳

(1)求离散型随机变量数学期望的关键是求出其概率分布列;

(2)求分布列的关键是弄清楚随机变量取值的意义,根据随机变量

取值的意义把随机事件用最基本的事件表达出来(表示为几个

互斥事件之和、几个相互独立事件之积等),然后使用相关的概

率公式求得其取值的概率.

【即时训练】 (2015高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在

一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不

设计意图

放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概

率; 巩固分布

解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”列的求解

为事件A, 过程，加

11A2A33

2P(A)=A5=10. 强训练，

(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出使之内化

2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:

元),求X的分布列和均值(数学期望). 成学生的

能力。

解: (2)X的可能取值为200,300,400. A222P(X=200)=A5112A313+C2C3A2A35=10,P(X=300)=3=10, 133P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-10-10=5. 故X的分布列为

X 200 P 110

300 310

400 35

133E(X)=200×10+300×10+400×5=350.

考点二 离散型随机变量的方差

学生活动：学生根据分布列期望与方差的定义及性质自主解决

例三（1）。

【例3】 (1)已知随机变量X的概率分布列为

X 1 2 3 4 5 6 7

1111111P 7

7

7

7

7

7

7

则D(X)=

.

D(5X-3)=_________.

解析:(1)根据题意

1111111

E(X)=1×7+2×7+3×7+4×7+5×7+6×7+7×7=4,

11111

所以D(X)=(1-4)2×7+(2-4)2×7+(3-4)2×7+(4-4)2×7+(5-4)2×7

11设计意图

+(6-4)2×7+(7-4)2×7=4.

创设“最大

答案: (1)4 （2）100 信息量”这

(2)如图,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过信

息的最大量依次为2,3,4,3,2,现从中任取三条线且在单位时间内一问题情

都通过最大信息量的总量记为X,则D(X)=（

）。

.

境，启动学

解析:(2)由题意X的可能取值为7,8,9,10. 生思维，激

发学生强

212112C2C21C2C1+C2C23烈求知欲

33C5P(X=7)=C5=5,P(X=8)==10,

及参与的

1121C1CCCC2122121

33P(X=9)=C5=5,P(X=10)=C5=10, 积极性，让

1321

则E(X)=7×5+8×10+9×5+10×10=8.4, 学生主动

1321

D(X)=(7-8.4)2×5+(8-8.4)2×10+(9-8.4)2×5+(10-8.4)2×10=0.84 参与的学

习中。

答案:(2)0.84

老师最后补充并加以强调。

【例4】 (2015高考天津卷)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓

球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员

3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.

从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名

种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;

2222C2C3+C3C3

46C8解:(1)由已知有P(A)== .

35

6

所以,事件A发生的概率为.

35

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分

布列和数学期望

解:(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

k4k

C5C34

C8P(X=k)=(k=1,2,3,4).

所以,随机变量X的分布列为

X 1 2 3 4

1331P 设计意图

14

7

7

14

随机变量X的数学期望

超几何分

13315

E(X)=1×+2×+3×+4×=. 1414277布与二项

反思归纳 (1)超几何分布的特点是:总体有A,B两类元素(如男女、正品分布是学

次品等)组成,从总体中不放回的取出一定数目的元素,其中含

有一类元素的个数服从超几何分布;(2)超几何分布中随机变生比较容

量取各个值的概率是古典概型,使用古典概型的公式进行计

易混淆的

算.

两种分布，

考点四 二项分布 （高频考点）

特举例四

例

５(2016·沈阳模拟)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由

甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老

例五两道

考点三 超几何分布【高频考点】

师生活动：让学生讨论总结超几何分布与二项分布的区别，

师

都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．

(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；

解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．

∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类1票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影3响，

711221313C()()C()∴P(A)＝3＋3＝. 27333(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列．

(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的值为0,1,2,3. 316122112C()()P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝3＝；

2727333

题对两种

分布加以

区分，并使

学生掌握。

128212211()()＝； P(X＝3)＝()3＝. P(X＝2)＝C32727333因此X的分布列为

X 0 1

271 6

272 12

273 8

27P

反思归纳 (1)二项分布的特点是:符合二项分布的事件必须服从独立性和重复性，(2)题目中有把频率视为概率，或从大量中选取n个都可以看成二项分布。

四)课堂小结

1.离散型随机变量的分布列、期望、方差的公式、性质。 2.几个特殊的分布列、两点分布、超几何分布、二项分布。

3概率大题的解答过程中必须做到认真读题，读懂题，仔细计算分布列与期望。

五、教学评价设计

本节课首先简单复习相关的一些概念，

作业：分层作业，课后自评 1.试卷“分布列期望方差练习题”。

2．选做题：12、13、15、18。

设计意图：分层布置作业，满足不同层次学生的需求，同时设计一项探究性练习，培养学生的开放性思维。

六、教学板书

练习1、2、4、5 例二 例四

例一 例三 例五 总结 作业

七、教学反思

本课就新课程理念下的教学模式，做了一些探索。实现数学核心概念，紧抓数学学习的本质，以问题解决为核心，通过提出问题，解决问题，采用小组合作，自主学习的研究性学习方式充分体现了学生的主体地位。如果在本堂课中设计的活动再多一些，学生可能会更积极，课堂气氛也会更活跃。所以，本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程。学生通过自主探究、合作交流，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。这节课我采用启发引导探究式教学方法，在教学中努力启迪学生思维、引导学生思考、指导学生阅读，让学生养成良好的学习习惯和一点终生有用的学习方法。