小结优秀公开课教案

基本不等式小结

一类：和（积）为定值，求积（和）的最值型。

例1．若x1，则x1的最小值是___________________．

x1111x112113，当且仅当x1，即x2时等x1x1x1【答案】3【解析】试题分析：x号成立，取得最小值3

练1．函数f(x)2x9 (x1)的最小值是__________．

22x9992x2x222928，当且仅当22x2x22x2【答案】8【解析】试题分析：f(x)2x2x295即x时等号成立，所以函数最小值为8

2x22二类：和与积并存，相互转化型

例2．已知正实数a,b满足:(a1)(b1)4，则ab的最小值是 ．

【答案】9 练2．已知xy(xy)1（x，y为正实数），则xy的最小值为 ．

【答案】322【解析】试题分析：因为x0,y0，所以xy2xy，则由xy(xy)1，得xyxy12xy，即xy2xy10，解得xy12或xy12（舍），即xy(12)2322，即xy的最小值为322；故填322．

三类：和与倒数和型

例3．设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为 ．

【答案】4【解析】试题分析：根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．

解：∵a+b=1，

∴+=（a+b）（+）=2+当且仅当，即a=b=时，取等号．

，

故答案为：4．

练3．已知正数x、y，满足【答案】18

1

811，则x+2y的最小值为 ．

xy

【解析】试题分析：x2y(x2y)()108x1y16yx16yx16yx102,即18,当且仅当xyxyxyx12,y3,上式等号成立.

【易错点晴】本题错解如下：由81812可得出xy32，x2y22xy223216，得出xyxy最小值为16.这种做法错误的原因是两次使用基本不等式时,等号不能同时成立.第一次成立条件是x8y,第二次是x2y,若同时成立,则xy0,不符合.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错.

练3~．已知x0,y0,且2xy1,则【答案】8

四类：指数对数转化型

例4．若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是_________．

【答案】6

试题分析：因为ab2，所以3a3b23a3b23ab2326，当且仅当ab1时取等．

练4.若实数x,y满足x0,y0，且x4y40，则lgxlgy的最大值为 ．

【答案】2

当且仅当x=20，y=5时取等号，x＞0，y＞0，x4y40，4024xy，xy100，lgxlgylg（xy）lg1002．

解：12的最小值是_______。

xy五类：其它类

例5．已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为 ．

【答案】8

解：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．

故答案为：8．

例6．已知a0，b0，a2b1，则，∴x+y==8，当且仅11取到最小值为 ．

3a4ba3b【答案】322．

52

1315试题分析：令a2b(3a4b)(a3b)(3)a(43)b，∴，

43225∴111112312(a3b)3a4b()[(3a4b)(a3b)][]

3a4ba3b3a4ba3b55553a4ba3ba2b1322(a3b)3a4b322，当且仅当2(a3b)3a4b时，等号成立，

553a4ba3b53a4ba3b即11322的最小值是．

3a4ba3b5,则

的最大值为________．

例7．设【答案】22试题分析：a3b22[(a3)(b2)]2(a3b2)26，当且仅当a3b2，即a3,b4时等号成立，故最大值为26．

例8．设正实数x,y,z满足x2xy4y2z0．则当【答案】z取得最小值时，x4yz的最大值为_____

xy3

222zx2xy4y2x4yx4y试题分析：由已知zxxy4y，所以1213，当且仅当xyxyyxyxx4y，即x2y时等号成立，则x4yz2y4y4y22y24y26y26y

yx13136y，当y时，x4yzmax．

2222例9．已知x0,y0且xy2，则【答案】3

2111的最小值为______.

22xyxy111111xy21y2x2yx(22)()[4(22)3()]

试题分析：22xyxyxyxy24xyxy1yxyx1[4232](426)3，当且仅当"xy"时，等号成立.

4xyxy4考点：基本不等式求最值

例10．已知x,y为正实数，则

2xy的最小值为________．

x2yx3

【答案】3

2试题分析：由2xy1y11132xyy1()2，当且仅当，即可得1yx2yxx2222x2x2yx()2x2xy33的最小值为，答案应填：．

x2y时取等号，故22x2yx111a21b例11．已知ab，a,b(0,1)，则4的最小值为 ．

【答案】4423

121b1a11a21试题分析：14a2(444a242[(44a)(4a1)])2()4a144a4a13

14(4a1)2(44a)14(4a1)2(44a)4(4a1)2(44a)42=22+()424344a4a1344a4a13，当且仅当44a4a1时取等号

例12．

已知x,y,z均为正数，则xy2yz的最大值是 ．

x2y2z2【答案】5

2试题分析：设xy2yzxy2yzxy2yz(0k1)，令2k1k，则2222222xyzxky(1k)yz2kxy21kyzxy2yzxy2yzxy2yz51k.2，当且仅当时，等号成立．因此2b5c25a22225xyzxy2z22(xy2yz)5的最大值是5. 22ab的最大值是 .

22abab例13．已知正实数a，b满足：ab1，则【答案】233.

3试题分析：∴2ab2a1aa1，由题意得，0a1，令a1t(1,2)，22222ababa1aa(1a)aa1a1t11233，当且仅当t3a31，b23223aa1(t1)(t1)1t32333t233时，等号成立，即所求最大值为，

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作业1．已知x0,y0，且211，若x2ymxy【答案】4,2

22m恒成立，则实数m的取值范围是_ _．

【解析】试题分析：先根据条件关系求出x2y的最小值，再列出关于m的不等式，即可求得m的取值范围．因为x2y应填4,2．

214y4xyxx4yx2，所以m2m8，解得4m2．故答案428yxy2．已知正实数a,b满足【答案】322

ab1，则a2b的最小值是 .

ab2ba1111试题分析：由题意得1，则a2b(a2b)3≥322．

ababab3．设x0,y0，且2x3()y，则【答案】3

1214的最小值为__________.

xy试题分析：由2x3()y2y得x3y，即xy3，所以12141141y4x(xy)()(5)xy3xy3xyy4x1y4x，即x1,y2时取等号．所以最小值为3．

(52)3，当且仅当xy3xy4．已知x∈（1，5），则函数y=【答案】

+

+的最小值为 ．

解：函数的导数f′（x）=﹣==，

由f′（x）=0得x2﹣18x+49=0得x=∵x∈（1，5），∴x=9﹣4当1＜x＜9﹣4当9﹣4，

==9±4，

时，f′（x）＜0，函数单调递减，

＜x＜5时，f′（x）＞0，函数单调递增，

5

故当x=9﹣4

时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，此时f（9﹣4）=+=+=+=+=+

=+=

，

故答案为：a2b215．已知ab，且ab1，则的最小值是 .

ab【答案】23

a2b21a2b22ab33ab【解析】试题分析：由题意，由ab0及均值不等式可得最ababab小值为23.

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