小结教案推荐

课题: §3.4基本不等式ab第1课时 ab（教案）

2授课类型：新授课

【核心素养】

1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．通过实例探究抽象基本不等式；

3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

基本不等式ab【教学过程】

ab的证明过程；

2ab等号成立条件

21.课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2家赵爽在这个如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab。

2．得到结论：一般的，如果222222a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

[解释]结论中“当且仅当”的含义。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

ab2ab(ab)

222当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)0，即(ab)2ab.

222作者：张帆

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式abab

2特别的，如果a>0,b>0,我们用a、b分别代替a、b ，可得ab2ab，

ab(a>0,b>0)

2ab

2）从不等式的性质推导基本不等式ab，你能用分析法证明一下吗？

2通常我们把上式写作：ab分析法证明：

要证 abab （1）

2只要证 a+b （2） 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ）

0 （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式ab2ab的几何意义

2探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式ab

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为2ab的几何解释吗？

2ababab，，显然，它大于或等于CD，即22ab几何意义是“半径不小于半弦”

2其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab评述：1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述2ab为a

、b的算术平均数，称ab为a

、b的几何平均数.基本不等式还可叙述2为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 3.基本不等式可推广为：n个正数的几何平均数不大于这n个数的算术平均数。

即：na1a2ana1a2an（当且仅当a1=a2=...=an时取“=”号）

n[例题] 例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)yx≥2；

xy作者：张帆

(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 分析：在运用基本不等式：质成立的条件)，进行变形. 证明：∵x，y都是正数 ∴223333abab时，注意条件a

、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性2yx2233＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0 xy(1)xyxyxy2＝2即≥2. yxyxyx22(2)x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 例2 已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证：2233332233x2y2＞0 x3＋y3≥2x3y3＞0 x2y2·2x3y3＝８x3y3

xyab2

abxy分析：运用基本不等式时须满足a、b均为正数。

证明：由条件可得，（a-b）(x-y)>0 所以，xyabxyabxyab时取“=”号）

22（当且仅当abxyabxyabxy3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2ab＞0 abab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 2b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（及它们的关系（ab≤作者：张帆

22ab），几何平均数（ab）2ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2

它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：a+b≥2ab,ab≤（ab2）. 25.评价设计

课本第114页练习第1题

22思考题：已知方程ax+bx+c=0有一根x1>0，求证：方程cx+bx+a=0必有一根x2，使得x1+x2≥2. 研究题：设正数a、b,试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

【板书设计】

3.4 基本不等式

重要不等式 例题 基本不等式 证明 作者：张帆

练习 作业

思考题 研究题