1.3 二项式定理（通用）教学设计实例

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1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 课时安排：3课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

⑵(ab)a3ab3abbC3aC3abC3abC3b

⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

4322342220212233223031222334a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

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4233040131222344

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∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

二项式定理：(ab)CnaCnabn404132223344n0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cn种，ann0n01n1rnrr，……，

br的系数是Cnn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

∴(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

n这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,⑷Cnarnrrn)叫二项式系数，

br叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnranrbr．

n1rrCnx⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)1Cnx三、讲解范例：

例1．①展开(1)．

xn

1x4解一：

(1)1C4()C4()C4()()11x411x11x231x31x44641234．

xxxxxC4xC4xC4x1解二：(1)()(x1)()

xxx14641234．

xxxx1414414413123②．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx[在此处键入]

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1131[(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C6(2x)3C62(2x)2C6(2x)1]

3x6012164x3192x2240x16023．

xxx12③．求(xa)的展开式中的倒数第4项

解：(xa)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

12④（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)280x，

∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x771x93733319x∴92r3，r3，

3r9r1()r(1)rC9rx92r，

x3∴x的系数(1)C984，x的二项式系数C984．

例2．（1）求(333x339)的展开式常数项；

x（2）求(x339)的展开式的中间两项

xr939rx9r3rr2r9)C93x2，

解：∵Tr1C()(3x∴（1）当9（2）(3r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C96332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx9121594251093，T6C93x2378x3 xT5C34989四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. [在此处键入]

6

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2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x6123x)n的展开式的第r+1项. 4.用二项式定理展开：

（1）(a3b)；（2）(5x25). 2x51212412126.化简：（1）(12（2）(2x3x)(2x3x)4 x)(1x)；625答案：1.

T21C6(2a)2.

T21C6(3b)262(3b)22160a4b2

(2a)24860a2b4

1rn2r1r3r3nrr3.

Tr1Cn(x)(

)Cnx322x4.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

5.

（1）(a3b)a5a（2）(5543333b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxxx)5(1x)5220x10x2；

1246.

（1）(112（2）(2x3x)(2x3x)192x12124432

x五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

ｎｎ (a+b) =这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

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