1.3 二项式定理（通用）教学设计实例

二项式定理（通用）

小榄中学

卜宪江一．教学目标：

针对教材特点和学生现状，分别从知识、能力以及情感与态度三方面来确定本节课的教学目标如下：

1．知识与能力

（1）能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式；

（2）使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质；（3）探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系

数性质之间联系，并能归纳这些数字规律。会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律。

2.过程与方法

（1）培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法；

（2）通过PPT向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感；

（3）通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备。

3. 情感与态度目标

（1）了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神；

（2）让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神。

二．教学重点和难点：

1. 教学重点

（1）二项式定理及通项公式的掌握及运用

（2）杨辉三角的性质的发现

2. 教学难点

（1）二项式定理及通项公式的应用

（2）引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律

三．学情分析：

学生在初步掌握二项式定理及其展开式的通项基础上，求二项展开式的某些

特定项，在化简过程中可能会有些困难，让学生在探究、交流中的得到提高。引导学生体会用函数知识研究问题的方法，发现规律，形成证明思路。 四．教学内容分析：

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时。教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三

角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。

五．教学策略：

“探究——发现”教学策略：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点；

问题目标引导探究策略：通过问题目标的驱动，引导学生思考并设计解决问题的思路、步骤和方法，使学习循序渐进、由浅入深，积极地参与到猜想、探究的学习中；

情境激趣策略：借助对实例、图片，促进思维的深层次加工和提高课堂参与度，激发学生兴趣，调动学生的积极性。

六．教学资源：

课本选修2-3，多媒体等。

七．教学设计：

学习环节

学习任务

学习评价

学习活动

介绍：

杨辉，杭州钱塘人. 中国南宋末年

数学家，数学教育家．著作甚多. 其

判断学中《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有

生是否积累译本出版，流传世界. 简单介绍任务1 大量课外数

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详杨辉

学常识.

解九章算法》一书中，此书还说明表内

除“一”以外的每一个数都等于它肩上

两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．

判断学引入：

生是否积累今天是星期二，7天后星期几，15生活现象

大量生活中天后星期几，8100天后星期几呢？

引入新课

任务2 二项式定理设计意图

设计意图：从人物背景出发，开拓学生的数学课外知识，从而建立初步印象，为下一步的教学做准备.

设计意图：从实际背景出发，直观感知二项式定理的应用，从而建立初步印象，为下一步

任务3

复习旧知

探索新知

的印象.

根据学生描述判断学生是否了解之前的知识.

根据学生之前学习过的推理与证明，判断学生是否掌握探究问题的一般思路.

观察学生的思路是否满足要求，能否在推理的步骤中，体会出二项式系数的特点. 的二项式展开做准备.

此处引导学生思考之前2⑵aba22abb2；

学过的知识.

3⑶aba33a2b3ab2b3；

4⑷aba44a3b6a2b24ab3b4

思考：

ab5的展开式是什么？

找规律，观察二项式系数

(a+b)

………………1

1

(a+b)……………1

2

1

(a+b)…………1

3

3

1

(a+b)………1

4

6

4

1

(a+b)……1

5

10 10 5 1

(a+b)…1

6

15 20 15 6 1

引出杨辉三角的定义，并接着揭示了杨通过观察辉三角的另一种形式。

找到规律，提

高学生学习兴(a+b)

………………1

1 趣，同时为学(a+b)……………1

2

1 生的进一步探(a+b)…………1

3

3

1 究提供思考方(a+b)………1

4

6

4

1 向. (a+b)……1

5

10 10 5 1

(a+b)…1

6

15 20 15 6 1

01CC

11

012CCC

222

0123CCCC

3333

⑴abab；

11 234561 23456

根据学生描述判断学生是否获得直线与平面垂直的判定定理.

01234C4C4C4C4C4

体会“推理”思想在数从而可以确定二项式定理中各项学研究过程中的二项式系数，接着用类似的方法引导的重要作用. 学生找到各项中a,b次数的规律.

通过观察之前的式子，可总结出：

1.各项的次数均为n ；

2.字母a的次数按降幂排列，由n

递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，

由0递增到n .

得到二项式定理：

0n1n1knkkn(ab)nCnaCnabCnabCnb

归纳总结二项式定理的特点和性质。

012345C5C5C5C5C5C5

探究例题

任务4 巩固提高

介绍杨辉三角的数字规律

任务5

关注学生是否能用规范的用数学语言、符号来表述解答过程；

进一步加深学生的握学生对所学知识的学习程度.

例题： 512x（1）写出的展开形式；

（2）展开式的第四项是；

（3）第四项的系数是；

（4）第四项的二项式系数是。

评价学生对二项式定理的掌握程度.

引导学生

对杨辉三角规

律与性质的掌

握程度.

结合杨辉三角图象说明或证明二项式系数的性质. 1.

除1外的每个数都等于它肩上两个数的和：

r1rrCnCnCn1

2.对称性：

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相mnm等．CnCn．

3.赋值法：

已知

122(1x)nC.0nCnxCnxrrCnxnCnnx

n012令，则2CnCnCnnCn．

n这就是说，(ab)的展开式的各个二项式系数的和等于2．

【问题拓展】

n你能求

12345C0nCnCnCnCnCn吗？

在展开式

n1n1n22(ab)nC0bC2bnaCnanannCnb中，令a1,b1，

则得

123(11)nC0nCnCnCnn(1)nCn

02即0(CnCn3)(C1nCn)，所以2C0nCnn3C1nCn，

在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

【练习】

1.已知1-2xa0a1xa2x2a7x7

7（1）求a0a1a2a7

（2）求a1a2a7

135112.求C11C11C11C11的值.

这道题可以运用刚刚学习的二项式系数的性质多种方法解题，达到一题多解的目的.

前后呼应

总结升华

任务6 提高素养

评价学生的分享内容，把握学生对所学知识的学习程度.

解答疑问：

今天是星期二，8天后星期几呢？

总结反思：

通过本节课的学习，你学会了哪些知识？

上述证明二项式定理的方法体现了什么数学思想？

关于二项式定理与杨辉三角你还有什么问题？

100作业布置

课题研究

任务7 关注学布置：

生能否独立(3x5)4(7x44x2)6的1.多项式按时完成当天作业,评展开式的各项系数和为________ 价作业的正2.确率. 123n12Cn4Cn8Cn(2)nCn_________；

2103.(2a3b)的展开式中第8项的

数学学习过程的梳理有助于加深学生对数学三大基本思想：抽象、推理、建模的理解，提高和升华学生的数学核心素养. 可以让学生感受到数学来源于生活又应用于生活的重要性.

目的就是让学生学会拓展．鼓励学生主动去变化式的探究发现. 二项式系数是_____，这一项的系数是_________,这一项是_____________；

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