小结板书设计及设计说明

选修2-3 第一章

计数原理

1.2排列组合问题的解法教学设计

石林一中 蔡杰芳

一、教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 二、教学重难点

重点：应用数学思想和方法解决排列组合问题. 难点：应用数学思想和方法解决排列组合问题. 三、教学过程

（一）复习引入

1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2mn种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2mn种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

（二）题型讲解

1.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有C3排法；

然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有C4种排法；

3 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有A4种排法；

113 ∴由分步计数原理得C4C3A4288

11练习题: 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的

种法？

25解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有A4不同种法，再其它葵花有A5不同种法，所以

共有不同种法A4A5121201440种不同的种法．

2.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进522行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有A5A2A2480种不同的排法．

25甲乙丙丁

练习题: 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 2解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有A520种不的情形．

3.不相邻问题插空策略

例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

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解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中

4间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55A6

4练习题：

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原

节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

4.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总

A77排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：3

A3(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有A7种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）

44思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 34（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有C7（先选三个座位坐下A4方法．甲，乙，丙共有C7种选法，余下四个空位排其它四人共有3434种排法，所以共有C7A4种方法．）

A4练习题: 510人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C10

5.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法

练习题：

1．

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7

6.环排问题直排策略

如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列，设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个，又因为从n个元素中取出m个元素的排成一排的排列数为Amn个，所以86mNAmn，所以mAnN．

mmAn即从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N．

mnAnn!(n1)!

n个元素的环形排列数为Nnn例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!种排法，即7!7654321840

种

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CDEFBAABCDEFGHAHG

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

7.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有A4种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有15（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）

A2A44A5种排法．215练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，

1111与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列C6C18C14C17108238346

8.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不24同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4

24练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务, 且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

9.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置

插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C9种分法．

注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．

练习题：

410个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C9

6（三）小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固．排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证．同学们只有对基本的解题策略熟练掌握．根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础．

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