阅读与思考 九连环公开课教案

《九连环中的数列问题》教学设计

教学目标：（1）了解九连环，了解解九连环的原理，会解九连环的前4环；

（2）能将游戏转化为数列问题，能归纳递推公式，了解求通项公式的方法；

（3）能感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。

教学重点：将九连环问题转化为数学问题，归纳递推公式；

教学难点：由递推公式求通项公式。

教学过程：

【了解九连环】教师介绍九连环，PPT展示图片资料

1、

九连环是中国传统的有代表性的智力玩具。由9个用环杆相套连的圆环和一只长形的框柄所组成，目标是要把9个环都从框柄上脱下来。因环中蕴含这很深的数学原理，有助于培养人的逻辑思维，启发人的智力，故也称“智环”“巧环”。

2、

九连环历史悠久。据古代文献资料记载，早在战国时期就有了九连环。作为一种民间游戏，在文学作品中描述较多，《红楼梦》第七回描写林黛玉在贾宝玉房中“大家解九连环做戏”。

【学习解九连环】教师讲解演示前两环的解法，学生模仿练习，PPT展示，视频播放

1、

图示讲解第1环和第2环的解法

2、

学生练习第1环和第2环的上下移动，学生尝试拆下第3环，探究规律

3、

总结规则：（1）每次只能解下或者套上一个环

；（2）第一个环任何情况下，可自由上下

；（3）如果某个环在上，而它前面所有的环都在下，那么这个环的后一个可上也可下 4、

根据规则学生尝试拆第4环。

【探究解开九连环的次数】学生尝试解九连环，记录移动次数，猜想规律

1、

记录解开前n环的所需最少次数，完成以下表格

最少移动次数

解开解开解开解开解开解开解开解开解开第1环

前2环

前3环

前4环

前5环

前6环

前7环

前8环

前9环

1 2 5 10 21 42 85 170 341 2、

总结归纳：（学生归纳）

解开前4环，需要先解开前2环，放下第4环，再套上前2环，再解下前3环。

所以，解开前4环需用次数为2+1+2+5=10 解开前5环，需要先解开前3环，放下第5环，再套上前3环，再解下前4环。

所以，解开前5环需用次数为5+1+5+10=21 归纳：解开前n环，需要先解开前n-2环，放下第n环，再套上前n-2环，再解下前n-1环。

3、得出结论：解开前9个环至少需要移动341次。

4、拓展：解开30连环至少移动几次？99连环至少移动几次？

【探究九连环中的数列问题】师生共同探究，将九连环问题转化为数列问题

1、用an表示解下n个圆环所需的最少次数，这个数列有何特点？递推关系如何？

a1=1，a2=2，anan12an21n3

2、推导通项公式（教师板书，师生共同推导）

已知数列an中，a1=1，a2=2，anan12an21n3，求an的通项公式。

anan12an21n3，an+an1+12an12an22n3，

即an+an1+12an1an21n3

所以an1+an+1是首项为4，公比为2的等比数列。

于是有an1+an+142n12n1，所以an1an2n11利用待定系数法，假设an1r2n1panr2np整理得an1an3r2n2p，

所以，对照①式，可知r因此an

①

21,p32

2n12112是等比数列，公比为-1，首项为a12

32632n112n11n1an2(1)a，n32663、

解决上一环节问题：a302n11 3216292311=715827882，

32若每天做12小时，每秒完成1次，那么需要90.8年。

【课堂小结】师生共同总结

数学来源于生活，又高于生活，数学就在我们身边。