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《第1章计数原理（人教A版

选修2-3）》章末复习课教学设计 泰来三中 田佳培

一、学习目标

1.归纳整理本章的知识要点. 2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题. 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．

二、知识梳理

1.分类计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn

种不同的方法. 2.分步计数原理

完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn

种不同的方法. 3.排列数与组合数公式及性质

4.二项式定理

(1)二项式定理的内容：

n1n11knkknn(a＋b)n＝C0bCnabCnb(nN)

naCnankk(2)通项公式：TK1Ckb,k0,1,2,n

na

(3)二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；

②若nn为偶数，中间一项第2＋1项的二项式系数最大；若n为奇数，中n＋1n＋1间两项第项和第＋1项的二项式系数相等且最大. 2212nn0213n－1③C0. n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2；Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋…＝2

三、题型探究

类型一

数学思想方法在求解计数问题中的应用

命题角度1 分类讨论思想

例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师

1

傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？

解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复).(2)总数要完备(保证不遗漏). 跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有____个.(用数字作答) 命题角度2 “正难则反”思想

例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1

若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，

当a3＝9时，a2取2，a1取1一种情况，利用正难则反思想解决. 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考. 跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有____种. 类型二

排列与组合的综合应用

例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

跟踪训练3 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为_____. 解析

由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1,1}. 类型三

二项式定理及其应用

命题角度1 二项展开式的特定项问题

2例4 已知在x第5项的系数与第3项的系数之比是56∶的展开式中，x3. (1)求展开式中的所有有理项；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项；

23n（3）求n9Cn的值

81Cn9n1Cnn(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. (5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质.

2

1跟踪训练4 已知二项式5x-展开式中各项系数之和是各项二项式系数之x和的16倍. (1)求n；

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

(3)求展开式中所有x的有理项. 命题角度2 二项展开式的“赋值”问题

例5 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. (1)求a2；

(2)求a1＋a2＋…＋a10；

(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2. 2923跟踪训练5 若(x＋1)(x－3)＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)＋a3(x－2)＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为___. 四、当堂训练

1.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有___种. na2.已知关于x的二项式x3展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，x则a的值为____. 3.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有____种. 五、小结：

1.排列与组合

(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的. (2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：

①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素. ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配. 2.二项式定理

(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式. (2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式，其中二项式系数是Crn这是一个极易错点. (3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法. 六、课后作业

1.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝_____.

3 n

2.航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为_____.(用数字作答)

4