三 排序不等式教学实录

§3.3 排序不等式

☆学习目标：

1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;

2. 体会运用经典不等式的一般思想方法

☻知识情景：

1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,biR(i1,2,…,n)，

则：

.

当且仅当

时, 等号成立.

(若ai0时，约定bi0，i1,2,…,n).

变式10.

设aiR,bi0(i1,2,2(ai)2ai,n),

则：bi1bi

. in

当且仅当

时, 等号成立.

变式20. 设aibi0(i1,2,2ai(ai).

,n),

则：babi1iiin

当且仅当b1b2bn时,等号成立.

变式30.

(积分形式)设f(x)与g(x)都在[a,b]可积，B1,B2,Bj,Bn,B,A1,A2,Ai,An,A

bbb

则f(x)g(x)dxf2(x)dxg2(x)dx，

aaa2

当且仅当f(x)tg(x)时,等号成立.

2. 探究

如图，

设AOB，自点O沿OA边依次取n个点

A1,A2,,An，OB边依次取取n个点B1,B2,,Bn，在OA边取某

个点Ai与OB边某个点Bj连接，得到AOBij，这样一一搭配，

一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，

OA边上的点与OB边

得到的AOBij不同，问：上的点如何搭配，才能使n个三角形的面积和最大（或最小）？？？

设OAiai,OBjbj(i,j1,2,

a1a2a3,n)，由已知条件，得

an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是

，而

是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

代数问题：设c1,c2,c,n是数组b1b,2

则,bn的任何一个排列,,Sa1c1a2c2ancn

何时取最大（或最小）值？

我们把Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和.

其中, S1a1bna2bn1a3bn2

S2a1b1a2b2a3b3anb1称为

序和. anbn称为

序和.这样的三个和大小关系如何?

☆

新知建构：

1.检验操作: 填表:

2.一般性证明:

设a1a2an,b1b2bn

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排列(有

个不同的排列). 所以,

个).其中必有最大值和最小

Sa1c1a2c2值.

ancn的不同值也只有有限个(

考察Sa1c1a2c2ancn,

10.若c1b1,则应有某ckb1(k1),且c1ck,对换c,c得1kSa1ckakc1ancn

SS0. SS

.

ancn中第一项换为a1b1后, 和式变

.

说明将Sa1c1a2c2

20.若c1b1,则转而考察c2,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为a2b2后,和式变

.

如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是

.

且不难知道, 最小和数只能是

. 因此

反序和

30.容易发现, 当a1a2乱序和顺序和 即 S1bn时,

S1SSS2. S2; an,或b1b2

如果a1,a2,,an,不全相等,

b1,b2,,bn也不全相等.

则i,j(1i,jn)和l,k(1l,kn)

使aiaj,blbk,考察和数

SS(iaibaalb2jbjl

SSaib2(i)ab(kk)ab(kkiabkabjll

)aiblakbjakbjabjjlalbialbabjk

)aib

∵

SS(aiaj)(bkbl)

∴

S1SSS2.

定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1a20SS

an,b1b2bn为两组数,

c1,c2,c,,任意一个排列, 则

n是b1b,2,bn的a1bna2bn1a3bn2anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2a3b3bn时, 等号成立. anbn.

当且仅当a1a2an,或b1b2

☆

排序不等式的应用：

例1. 若a1，a2，…，an

为两两不等的正整数，

求证:1

例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

1123a3a1a12n2232ann2.