小结名师教学设计

教学目标

1.掌握不等式的基本求解方法

2.掌握不等式的基本性质

1.

一元二次不等式的基本解法线性规划最值的求解

考点及

2.

不等式恒成立问题的考察

考试要求

3.

利用不等式的基本性质求证不等式恒成立

学科组长签字

教学步骤

教学部长签字

教学内容

知识小札

【知识点一：不等式关系与不等式】

【典型例题】

例1.

下列命题中正确命题的个数是（

）

①若xyz，则xyyz；②ab，cd，abcd0，则③若ab；

cd11bb10，则abb2；④若ab，则．

abaa1B．2

C．3

D．4

A．1

例2.用“”“”号填空：如果ab0c，那么cc________．

ba例3．已知1ab3且2ab4，则2a+3b的取值范围是（

）

知识点

精讲

A

(1317711713913,)

B (,)

C

(,)

D

(,)

22222222二、含有绝对值的不等式：

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离

2、解含有绝对值不等式的主要方法：

（1）公式法：|x|a (a0)axa，|x|a (a0)xa或xa．

（2）定义法：零点分段法；

（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

【典型例题】

例1.不等式352x9的解集为（

）（运用公式法）

A．[2,1)[4,7)

B．(2,1](4,7]

C．(2,1][4,7)

D．(2,1][4,7)

例2. 求解不等式：|2x1||x2|4．（运用零点分段发）

例3.函数yx4x6的最小值为（

）

（零点分段法）

A．2

B．2

C．4

D．6

三、不等式证明的几种常用方法：

比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

【典型例题】

5，例1.若x2或y1，则m与n的大小关系是（

）

x2y24x2y，A．

B．

C．

D．

例2.若ab0,m0,n0，则abbman, , , 按由小到大的顺序排列为

baambnln 2ln 3ln 5例3.若a＝，b＝，c＝则a，b，c按从小到大排列应是________．

235例4.设a＝2－5，b＝5－2，c＝5－25，则a、b、c之间的大小关系为________．

例5.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（

）

22A．lgx1lg2x

B．x12x

C．111x2

D．x21x例6. 若a、b是任意实数，且ab，则（

）

A．ab

22b11B．1

C．lgab0

D．a22ab四、数轴穿跟法:

奇穿，偶不穿：

(x23x2)(x4)2例题：不等式0的解为（

）

x3A．－1

B．x<－3或1≤x≤2

D．x=4或x<－3或1≤x≤2 C．x=4或－3

0

0

0

二次函数

yaxbxca(xx1)(xx2)2yax2bxca(xx1)(xx2)yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

有两相等实根

一元二次方程

ax2bxc0

有两相异实根

a0的根x1,x2(x1x2)

bx1x2

2a

无实根

ax2bxc0

(a0)的解集xx2bxx1或xx2

xx

2aR ax2bxc0

(a0)的解集x1xx2





一元二次不等式axbxc0和ax2bxc0(a0)及其解法

顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

分式不等式f(x)f(x)0

,分式不等式0

.

g(x)g(x)【典型例题】

2例1.设二次不等式axbx10的解集为{x|1x},则ab的值为(

) 13A.-6

B.-5

C.6

D.5 例2.已知函数y(

) A.a0

B. a2ax22x3,若x的取值范围是全体实数,则实数a的取值范围是111

C. a

D. 0a

333例3.若不等式axbxc0(a0)的解集为,则(

)

A. a0,b24ac0

B. a0,b24ac0

C. a0,b24ac0

D. a0,b24ac0

例4.若关于实数x的方程xaxa10有一正根和一负根,则实数a的取值范围是

. 例5 :解关于x的不等式ax22(a1)x40(aR).

例6. 已知不等式axbxc0的解集为,(0),求不等式222cx2bxa0的解集.

例7.不等式|x2－3x|＞4的解集是________

【举一反三】

1.设集合P{m|1m0},Q{mR|mx4mx40对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是(

) A.PQ

B. QP

C. PQ

D. PQ

2.不等式x|x|20(xR)的解集是(

) A.2,2

B. ,22,

C. 1,1

D. 22,11,

4. 关于实数x的方程x2mx2m30有两个正根,则实数m的取值范围是

. 22

【知识点三：简单的线性规划】

1、一元一次不等式与线性规划

(1)

①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．

②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．

线性约束条件可行域(2)线性规划：线性目标函数（截距、斜率、距离）

可行解最优解【典型例题】

x≥1，例1．已知变量x、y满足条件x－y≤0，x＋2y－9≤0，

则x＋y的最大值是(

) A．2

B．5

C．6

D．8 x－y＋1≤0y例2.若实数x、y满足，则的取值范围是(

) xx>0

A．(0,1)

B.(0，1]

C．(1，＋∞)

D.[1，＋∞)

y≥1，例3．已知实数x，y满足y≤2x－1，x＋y≤m，等于(

)

A．7

B．5

C．4

D．3

如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m【举一反三】

x≥1，1．已知变量x、y满足条件x－y≤0，x＋2y－9≤0，

则x＋y的最大值是(

) A．2

B．5

C．6

D．8 2．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是(

)A．[0,5]

B．[0,10]

C．[5,10]

D．[5,15] x＋2y≤102x＋y≥33．设D是不等式组0≤x≤4y≥1

表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝

10距离的最大值是________．

xy≤3225. 设x、y满足条件y≤x1，则z(x1)y的最小值

．

y≥0【知识点四：基本不等式】

a、bR,a2b22ab1.a、bR,ab2ab

，(当且仅当ab时成立等号)，

22abab2a、bR,ab()22和定，积最大；积定，和最小。

一正二定三相等。(特别留意等号成立的条件)扩展：平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a2b2ab2（当a = b时取等）

ab1122ab2.对勾函数yxk,(k0)

x定义域(,0)(0,)，值域(-,-2k][2k,)

奇函数

渐近线：直线yx和直线x0

拐点：(-k,-2k)，(k,2k)

1abDxAx2BxCx、、、

xbaAx2BxCDx

题型一：求值域

技巧一：凑项

例1.已知x5，求函数y4x21的最大值。

44x5

技巧二：凑系数

例2 .当

技巧三：

分离

时，求yx(82x)的最大值。

x27x10(x1)的值域。

例3.

求yx1

题型二：条件求值

ab1.若实数满足ab2，则33的最小值是

. 2.已知x0,y0，且

191，求xy的最小值。

xyy 23.已知x，y为正实数，且x＋

＝1，求x1＋y

2

的最大值. 2 2

4. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x

＋2y

的最值.

【举一反三】

y21.已知x,yR,x2y3z0，则的最小值

．

xz 2已知点()在直线上, 其中,则（ ）

A.有最大值为2

B.有最小值为2

C.有最大值为1

D.有最小值为1 3. 已知非负实数、满足A.4 . 设A.

有最大值8

B.

B.，则的最大值是（ ）

C.5

D.10 ,则( ) 有最小值8

C.有最大值8

D.有最小值8 【知识点五：不等式的综合应用】

常见、常用结论：

（1）

例1.不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____ 例2.若不等式2x1m(x1)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____ 2例3.若不等式x2mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围kf(x)恒成立kf(x)maxkf(x)恒成立kf(x)min

（2）存在x使kf(x)成立kf(x)min存在x使kf(x)成立kf(x)max

2

【课后练习】

1.解不等式|x||x1|3

2.若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。

3 .不等式lg(x21)1的解集是____________.

2x2(a1)x311.

4. 解不等式lg(x)0.

. 解关于x的不等式2xxax

知识点

精练

5. 不等式5x≥x1的解集是（

）

(A){x|4≤x≤1}(B){x|x≤1}

(C){x|x≤1}

(D){x|1≤x≤1}

6．设f(x)=x2+bx+1，且f(－1)=f(3)，则f(x)>0的解集是（

）

A．(,1)(3,)

B．R

C．｛ｘ｜ｘ≠1｝

D．｛ｘ｜ｘ＝12

7．若不等式ax+x+a＜0的解集为

Φ，则实数a的取值范围（

）

A

a≤-111111或a≥

B

a＜

C -≤a≤

D

a≥

222222x228．不等式组的解集为（

）

2log(x1)12A．（0，3）

B．（3，2）

C．（3，4）

D．（2，4）

9．关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是

．

10．不等式（x-2）x22x3≥0的解集为________________．

y≤2x，11已知实数x、y满足y≥－2x，x≤3，x>0，12.不等式组y>0，4x＋3y<12____个．

x＋y≥2，13.若实数x，y满足不等式组2x－y≤4，x－y≥0，xy

则目标函数z＝x－2y的最小值是______．

表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有

则2x＋3y的最小值是________．

14.若x2y1，则24的最小值是______ 15正数x,y满足x2y1，则11的最小值为______

xy16若

A.0.5

B. ,且

C.,则在下列四个选项中,较大的是( )

D. b 17设a，bR，a+2b=3 ，则11最小值是

；

ab18若x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________．

19若x,y是正数，且141，则xy有（

）

xyA.最大值16

B．最小值

11

C．最小值16

D．最大值

1616