1.3 二项式定理（通用）教案评析

§1.3.1 二项式定理

【教学目标】

1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；

2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】

教学重点：二项式定理的内容及归纳过程

；

教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】

一、设置情景，引入课题

引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？

二、引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

2、（a+b）3展开式的再认识

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的22一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C3· C11=3次，所以ab的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？

可以对（a+b）4按a或按b进行分类：

（1）四个括号中全都取a，得：C4

a4

（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C4

a3· C11b

（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C4

a2· C2b

24322（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C4

a· C33b

31（5）四个括号中全都取b，得：C4

b

小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C4

a4；（2）取1个b：C4

a3b；（3）取2个b：C4

a2

b；（4）取3个b：C4

2440123ab3；（5）取4个b：C4

b，然后将上面各式相加得到展开式。

44结论：（a+b）4= C4

a4+ C4

a3b+ C4

a2

b+ C4

ab3+ C4b

2401234三、形成定理，说理证明

1

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？

合作探究2:

(1) 将（a+b）n展开有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，

n（1）不取b：C0n

a；

（2）取1个b：C1n ab；

n-1（3）取2个b：C2n ab；

n-22………………

（k+1）取k个b：Ckn ab；

n-kk………………

(n+1)取n个b：Cnn b；

n然后将这n+1个式子加起来，就得到二项展开式，

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) 这就是二项式定理。

四、熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n+1项；

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

k（4）通项:Tk+1= Ck ab；指的是第k+1项，该项的二项式系数为Cnn；

n-kk（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）的二项展开式。

例1

求(2xn1x)6的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2

①(12x)的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

7②求(x19)的展开式中含x3的系数。

x五、当堂检测

1.写出（p+q）7的展开式；

2

2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；

313.写出x的展开式的第r+1项；

32x4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（

）

（A）C10

(B) 6655C10

(C) C10

(D)

C10

n答案：1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.

六、课堂小结

0n1n1knkknn1.

公式：

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.

思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程. 七、布置作业

课本43页习题1.3 A组 2、3

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