二 综合法与分析法课堂实录

第2课时

用综合法、分析法证明不等式

一．教材分析

1.教材背景：

生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证

明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。

2.

地位与作用：

《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立体几何，解析几何等等。可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要的地位。

现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数，数列，解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点，低起点，深入浅出的高考命题特点。

二．学情分析：

1.有利因素

学生在数学的学习中，已初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。

2.不利因素

学生对已学知识的应用意识不强，三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。特别是与其他章节的交汇存在很大障碍。

三．目标分析：

教学目标:

1.知识目标：熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式；理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式；对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。

2.能力目标：通过综合法和分析法的学习，提高分析解决问题的能力；

3.德育目标：通过综合法和分析法的学习，体会数学思维的严密性。

教学重点和难点:

综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。

要点·疑点·考点

1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式. 2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.

教学过程设计

一．课

前

热

身

1.当a＞1，0＜b＜1时，logablogba的取值范围是 ______________. 2.设x18yx2，则函数2x-1

的最小是_ __，此时x=___ ___. x25x7a(x2)x23.若

恒成立.常数a的取值范围是_________.

4.设111a,b,cca的值( ) a、b、c∈R+，则三个数b

(A)都大于2 (B)至少有一个不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一个不小于2 5.设a＞b＞c且a+b+c =0，求证：

(1)bac0； (2)bac3a

二．能力·思维·方法

33221.已知a，b，c都是正数，且a≠b，abab，

4求证：1＜a+b＜3

22【解题回顾】本题证明a+b＞1采用了综合法，而证明4a+b＜3

是采用了分析法.在证题时，从已知条件

4a+b＜3

．这是两种不同的

出发，实行降幂变换，证出了a+b＞1；而从结论出发，实行升幂变换，导出思维程序.

2.(1)设a，b，c1a1b1c6abc都是正数，求证：

bccaababcabca+b+c=1.求证：

(2)已知a、b、c∈R+，且【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的

不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法. (2)注意条件中1的代换与使用.

3.证明：若f(x)＝1x22，a≠b，则|f(a)-f(b)|＜|a-b|. 【解题回顾】利用(a∈R)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使aa2问题得以简化.

ab24.已知a＞b＞0，求证：8aab2abab28b

【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够

同时进行证明.

三．延伸·拓展

a1a2(125.设aa(a2)112a2)(1,a2∈R+，a12＝1，1,2∈R+，求证：)12412

【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1a2是变形的目标.

误解分析

1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因. 2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.