2.基本不等式名师课堂实录

教学课题

基本不等式abab

2知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并

课标要求

掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；

认知层次

知识点

知识点一：

基本不等式及其推导

过程

知识点二：

基本不等式的应用

识记

理解

应用

综合

∨

∨

1.通过从不同角度探索不等式ab及其等号成立的条件；

目标设计

ab

的证明过程，使学生理解基本不等式22.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式ab制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用。

教学情境一：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

ab的三个限2分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是S12ab，正方形的面积为S2a2b2。

由图可知S2S1，即a2b22ab．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab。

新知：若a,bR，则ab2ab

教学情境二：

先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．

假设两个正方形的面积分别为a和b（ab）

问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

新知：若a,bR，则ab

问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗？

证明：因为a2b22ab(ab)20，即ab2ab.（当ab时取等号）

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

证明：（分析法）：由于a,bR，于是要证明 只要证明 ab2ab， 即证 ab2ab0，即 (ab)20，

所以222222b

a

ab

2abab， 2abab，（当ab时取等号）

2【板书】两个重要不等式

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

教学情境三：学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

问题4：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可。

例1：函数yx1，在下列哪个区间内有最小值，若有请求出；若没有，说明理由？

x（1）x0 （2）x0 （3）x1

例2：已知a,bR，ab1，

（1）求ab的最大值；（2）求

11的最小值；

ab※分享收获: 对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4

习题设计

1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）

（1）yx

（2）若x2，求yx

2.已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？

（利用基本不等式求最值；难度★★★）

1(x0)的最小值（难度★） x1的最小值（难度★★）

x2

3.下列函数的最小值为22的是：（一正二定三相等；难度★★★★）

A．yx22 B．ysinx,x0,

xsinx2 C．y

x2y2,xy0

D．

ylgx,x0,

yxlgx4.求下列代数式的最小值（一正二定三相等）

（1）已知x0,y0，且281，求xy的最小值．（难度★★★★）

xy（2）设x,yR，且xy2，求3x3y的最小值．（难度★★★★）

5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

（利用基本不等式求最值；难度★★★★★）

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