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勾股定理的应用

------求立体图形上两点间的距离

西安市高陵区鹿苑中学 任惠芳

教学目标：

1、

知识目标：运用勾股定理解决有关立体图形上两点间的距离的实际问题。

2、

能力目标：培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。

3、

过程与方法：通过展开，将立体图形上两点间的问题转化为平面上两点间的距离，体会转化的思想方法。

教学重点：确定立体图形上两点所在的平面，并能画出展开图，求得最短距离。

教学难点：确定立体图形上两点所在的平面，并能画出展开图。

教学方法与教学手段：

1、情境探究、2、自主探索、分层推进。

学生准备：一个圆柱，一个正方体，两个长方体

教学过程：

教师活动

设计意图

一、温故知新

1、如图，从点A到点B的路线中，那条路线是最短的？

你的依据是什么？



回顾复习线段公理：

两点之间，线段最短。

AA

B

B





2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨

8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走。1h

后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10︰

培养学生树立将实际问题转化00，甲、乙二人相距多远？

┐

C B A





为数学问题的建模思想，学会运用勾股定理解决问题的方法。

分析：在∆ABC中,由题意得：

∠C=90。，AC=5km,BC=12km

以根据勾股定理可得AB=13km

即此时甲乙二人相距13km

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二、新知探究

探究（一）

已知，右图是一个棱长为

2cm的正方体，试求蚂蚁由

A到B的最短距离。

(1)由A到B的路线有多少种？

(2)由A到B的路线中经过几个

A 面时路线较短？分别是哪些面？

B 让学生通过实践、动手操作想象，观察等数学活动，培养学生空间观

念，让学生体会勾股定理在现实生B活中的应用，把实际问题转化为数学模型，从而解决问题。

由简单的正方体展开图引入新知探究，引导学生学会分析问题。能将此类简单问题转化成数学问题，运

A(3)在经过两个面的展开图中,你发现了什么共同点？

由此你得到的A、B间的最短距离是什么？

活动:引导学生得出(1)由A到B的路线有无数种

（2）经过两个面时路线相对较短，而且任意两个面都用勾股定理求解。

是相同的，所以得出（3）AB2=22+42=20，

AB= 20 =25cm 探究（二）

若上述问题中的几何体底面形状不变，高增加到4cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

引导学生运用展开图，构建直角三角形模型，运用勾股定理解决此类问题。为下一问题作铺垫。

B B

A A2 / 6

B

AB经过前和右两个面

AB2=(2+2)2+42=32 AB= 32

=42cm

A

AB经过前和上两个面

AB2=(2+4)2+22=40

AB=40=210

因为32<40,所以蚂蚁爬

行的最短距离为42cm.

A

探究（三）

B 若上述问题中的正方体

底面一边长不变，另一

边长增为3cm,高增加到

4cm，一只蚂蚁想从盒底

的A点爬到盒顶的B点，

蚂蚁要爬行的最短行程

是多少？

A A

3 / 6

引导学生得出过A、B两点的两个面共以下两种情况：

使学生体会从特殊到一般的思维过程，学会分类讨论的思想方法，学会对比归纳，总结方法。

BB

AB经过前和右两个面

AB2=(2+3)2+42=41 AB=41cm

4

3 2

A

AB经过前和上两个面

AB2=(2+4)2+32=45

AB=45=35cm

4

A

3AB经过左和上两个面

BAB2=(3+4)2+22=53

3AB=53cm

因为53<45<41 所以蚂蚁爬行的最短路程

4是41

A

2

4 / 6

B

。

B

2

五、反思小结，形成认知

长方体展开图中AB线段的长度最多几个值？

学生思考得出结论：最多三个值

老师小结：勾股定理是刻画现实世界的有效数学模型。

出示框图说明：

解释构建

数学问题

实际问题

抽象

总结体会由特殊到一般的逐层深入，由浅入深的思维过程。

通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“用勾股定理来解决实际问题”的实质是构造直角三角形，既是找等量关系解决实际问题，形成解决实际问题的一般性策略。

通过老师的小结以及框图概述，使学生认识到“用勾股定理解决实际问题”是建立“数学模型”解决问题

数学模型（勾股定理）

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的具体过程，培养数学建模思想。