反比函数在物理学中的应用优秀教案内容

26．2

实际问题与反比例函数

知识与技能

1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．

2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．

过程与方法

会用反比例函数知识分析、解决实际问题．

情感、态度与价值观

渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．

重点

会用反比例函数知识分析、解决实际问题．

难点

分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．

一、复习导入，教授新课

问题：

市煤气公司要在地下修建一个容积为104

m3的圆柱形煤气储存室．

(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？

(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？(保留两位小数) 我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104

m3，所以S·d＝104. 变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系式，即S＝104d，所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．

根据函数S＝104d，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．

根据S＝104d，得500＝104d，解得d＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．

根据S＝104d，把d＝15代入此式，得

S＝10415≈666.67(m2)．

当储存室的深为15 m时，储存室的底面积应改为666. 67 m2才能满足需要．

二、例题讲解

例1

码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．

(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得

k＝30×8＝240，

所以v关于t的函数解析式为

v＝240t.

(2)把t＝5代入v＝240t，得

v＝2405＝48(吨)．

从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数v＝240t，当t>0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．

例2

小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

解：(1)根据“杠杆原理”，得

Fl＝1 200×0.5，

所以F关于l的函数解析式为

F＝600l. 当l＝1.5 m时，

F＝6001.5＝400(N)．

对于函数F＝600l，当l＝1.5 m时，F＝400 N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400 N的力．

(2)对于函数F＝600l，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．

当F＝400×12＝200时，由200＝600l得

l＝600200＝3(m)，

3－1.5＝1.5(m)．

对于函数F＝600l，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5 m. 例3

一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．

(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

解：(1)根据电学知识，当U＝220时，得

P＝2202R.

①

(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值

P＝2202110＝440(W)；

把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值

P＝2202220＝220(W)．

因此用电器功率的范围为220W～440W. 三、巩固练习

1．京沈高速公路全长658 km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为________．

答案

t＝658v

2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数．当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V＝2 m3时氧气的密度ρ. 答案

(1)ρ＝mV，当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3，所以m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝14.3v；(2)当V＝2 m3时，ρ＝14.32＝7.15(kg/m3)．

四、课堂小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．