正弦、余弦、正切函数的简单应用课件配套优秀教案案例

人教版九年级下册二十八章解直角三角形

28.2.2 解直角三角形应用举例（1）

商洛市商南县赵川镇初级中学

周胜

教学目标：

知识与技能：

1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。

过程与方法：

1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、注意加强知识间的纵向联系．

情感态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

重难点、关键：

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习引入】

1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？

请学生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。

二、探索新知、分类应用

【活动一】课本例3

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热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果取整数)? 老师引导学生分析：

1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。

2、我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．

3、学生活动：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．

tanaBDCD,tanADAD

BDADtana120tan30

BDADtana120tan30

12034033

CDADtan120tan60

12031203

BCBDCD4031203

1603277（m）

答：这栋楼高约为277.1m 师生共同归纳：解直角三角形的应用：

（1）、从实际问题抽象出数学模型，画示意图

（2）、审清已知未知

（3）、解直角三角形

（4）、解决实际问题

【活动二】盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图,在一次数学课外实践活动中,老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5 m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,然后向电视塔前进224 m到达E处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度

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AB.(≈1.73,结果精确到0.1 m) 解:∵∠CAF=∠AFG-∠ACG=60°-30°=30°.

又∵∠ACF=30°,∴∠CAF=∠ACF.∴AF=CF=DE=224 m. 在Rt△AFG中,AG=AF·sin 60°=224×=112(m). ∴AB=AG+GB=112+1.5≈195.3(m). 答:电视塔的高度AB约为195.3 m.

【活动三】当堂检测

1.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α,AC=7米,则树高BC为________米.(用含α的代数式表示)

2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学眼睛距离地面的高度(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为(

)(结果精确到0.1 m,≈1.73)

A.3.5 m

B.3.6 m

C.4.3 m

D.5.1 m 3.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.

(1)求∠BPQ的度数;

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(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m). (备用数据:≈1.7,≈1.4)

4.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为(

)

A.100 m B.50 m C.50 m D. m 5.如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9 m,则旗杆AB的高度是

m.(结果保留根号)

6.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m.请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈,cos 35°≈,tan 35°≈)

7.如图,平台AB高为12米 ,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(

≈1.7)

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8.如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离为120 m,求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)

9.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7 062.68米,某天该深潜器在海面下1 800米处作业(如图),测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前方直线航行2 000米到B点,此时测得海底沉船C的俯角为60°.

(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内?并说明理由. (2)由于海流原因,“蛟龙”号需在B点处马上上浮,若平均垂直上浮速度为2 000米/时,求“蛟龙”号上浮回到海面的时间.(参考数据:≈1.414,≈1.732)

10.如图,在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数)

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11.如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿4平行于AB的方向水平飞行1.99×10米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.

12.如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计)

13.如图,AB,CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D的俯角∠EAD为45°.

(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度; (2)求建筑物CD的高度.(结果保留根号)

三、总结消化、整理笔记

本节课应掌握：

1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

四、书写作业、巩固提高

（一）巩固练习：课本76页练习1、2 （二）提高、拓展练习：分层作业

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五、教学后记

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