一 比较法教学实录及点评

题目:

不等式的证明

高考要求

1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；

2．掌握用“比较法”证明不等式；理解比较法证明不等式的步骤及应用范围

3．搞清比较法证题的理论依据，掌握比较法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤

4

通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题

知识点归纳

不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：AB0AB

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小

题型讲解

例1

若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之

分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）aam(ba0,m0)

bbmaam(ba0,m0)

解：由题意得bbm可知

证法一：（比较法）amab(am)a(bm)m(ba)

bmbb(bm)b(bm)

ba0,m0，ba0,bm0，

m(ba)ama0即

b(bm)bmbFEmCb1 证法二：（放缩法）

ba0且m0，

mDBaA

amaa(bm)amb

bb(bm)bmbma证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，

AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD

ABC∽ADF，

aamamambbCFbCEbm

例2

已知a，b∈R，且a+b=1

求证：a2b22225

2证法一：（比较法）

a,bR,ab1,b1a

a2b2259a2b24(ab)

22911a2(1a)242a22a2(a)20

22225122即a2b2（当且仅当ab时，取等号）

2222证法二：（分析法）

a2B2222525a2b24(ab)8

22b1a

2

25122a(1a)48(a)022因为显然成立，所以原不等式成立

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件

证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）

证法四：（反证法）假设(a2)(b2)则

ab4(ab)8222225，

225

2

2

22由a+b=1，得b1a，于是有a(1a)1225

2121所以(a)0，

这与a0矛盾

22225

2证法五：（放缩法）∵ab1

所以a2b222

∴左边＝a2b222a2b22

222125ab4＝右边

22

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式ab222ab2

2证法六：（均值换元法）∵ab1，

11t，bt，

22112222∴左边＝a2b2(t2)(t2)

22所以可设a252555tt2t2＝右边

222222当且仅当t=0时，等号成立

点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元

证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）

设y=(a+2)2+(b+2)2，

由a+b=1，有y(a2)(3a)2a2a13，

所以2a2a13y0，

因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b222222225

225

2

3

例3设实数x，y满足y+x2=0，0

8证明：（分析法）要证loga(aa)loga2xy1，

80a1，只要证：aa2a，

又aa2aaxyxyxy182axy2，

只需证：aa

1∴只需证xy，

412即证xx0，此式显然成立

∴原不等式成立

4xy14例4 设m等于a，b和1中最大的一个，当xm时，求证：ab2

2xx

分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于a，b和1中最m1”大的一个”翻译为符号语言“ma，mb，，从而知xma

证明：（综合法）xma，xmb,xm1

a1.bxxabab2222

2xxxxxxxx2例5

已知f(x)x(x1).

x1(1)求f(x)的单调区间；

(2)求证：xy0,有f(xy)f(x)f(y).

（3）若ab0,c241,求证：f(a2)f(c).

5(ab)b

4

解: （1）

对

已

知

函

数

进

行

降

次

分

项

变

形

, 得

f(x)11, x1f(x)在区间(,1)和(1,)上分别单调递增.

（2）∵f(x)x(x1).

x1∴f(x)f(y)xyxyxyxy

x1y1xyxy1xyxyf(xyxy)

xyxy1

而

xyxyxy,由(1)知fxyxyf(xy),

f(x)f(y)f(xy)

2,c⑶

ab0∴c1,

(ab)b11420,

abb2a(ab)b()2442222

aca24.

f(a)f(c)f(ac)f(4)

5a点评：函

数

与

不

等

式

证

明

的

综

合

题

在

高

考

中

常

考

常

新

, 是

既

考

知

识

又

考

能

力

的

好

题

型

, 在

高

考

备

考

中

有

较

高

的

训

练

价

值

小结：

1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点

2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等

3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指

5

不等式时常用商值比较法，即欲证ab,(a0,b0)可证a1

b4基本思想、基本方法：

⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法

⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法

⑶

“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达

分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：

正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯

简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式

⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法

⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题

⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件

⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度

学生练习

2222221

设abc，求证：bccaabbccaab

证明：bccaab(bccaab)

=bc(cb)ca(ac)ab(ba)

=bc(cb)ca[(ab)(bc)]ab(ba)

=(ab)(bc)(ca)

222222abc，则ab0,bc0,ca0,

(ab)(bc)(ca)0

故原不等式成立

6

点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：bc2ca2ab2(b2cc2aa2b)c2(ba)c(ab)(ab)ab(ba)

（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方

2

己知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，

求证：a2b2c2(abc)2.

证明：a2b2c2(abc)22(abbcac)



a,b,c成等比数列，b2ac

a,b,c都是正数，0bacacb,

acac

22(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0

a2b2c2(abc)2.

点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段

23

己知函数f(x)xaxb，当p,q满足pq1时，证明：pf(x)qf(y)f(pxqy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0p1

证明：pf(x)qf(y)f(pxqy)

p(1p)x2q(1q)y22pqxyp(1p)(xy)2（1）若0p1，则p(1p)0,

7

p(1p)(xy)20,pf(x)qf(y)f(pxqy)

(2)当pf(x)qf(y)f(pxqy)时，p(1p)(xy)20,

(xy)20,p(1p)0,0p1

故原命题成立

4．比较解：

log(1x)a的大小（其中0< x <1 ）

-log(1x)a=lg(1x)lg(1x)lgalg(1x2)>0 (比差) lga5设a,b,c0,2,证明4ab2c22ab2bc2ca

证明：f(a)(4bc2b2c)ab2c22bc

f(0)(bc)20,f(2)(b2)2(c2)20

4ab2c22ab2bc2ca

6已知a,b为正数,且满足abc1,a2b2c21,

1证明:c0

3证明：abc1,a2b2c21ab1c,a.bc2c

构造方程x2(c1)xc2c0,则该方程有两个正根a,bc2c01c0

1c03(1c)24(c2c)07．若，求证ab与

不能都大于

证明：假设ab, (1－a) (1－b)都大于

8

则ab(1a)(1b)111又0a(1a),0b(1b)1644通过yx2x,0x1的值域有ab(1a)(1b)这与ab(1a)(1b)1矛盾1614116

因此，ab,(1a)(1b)不可能都大于8．已知：a3+b3=2,求证：a+b2

证明：假设a+b>2

则b>2-a

a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+22

与已知相矛盾，所以, a+b2

1119求证：12

2！3！n!11[1()n1]1111112证明：112n112212！3！n!22212

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求证1111

22223n证明：1111111

22223n122334（nn1)111111111

223n1nn11111求证：12(n11)

23n证明：11111111（2）

2222323n2n11112()122334nn12(2132n1n)2(n11)bccaababc

abcbccaab,,R,

证明：a,b,cR,abc13

设a,b,c都正数，求证：

9

bccacaababbc2c,2a,2b.

abbccabccaab2(2(abc)，

abcbccaababc

abc214设abc且abc0，求证：bac0

证法1 若c0，abc，

a0,b0,abc0这与abc0矛盾，

c0同理可证a0ac0.b2ac0

证法2 由abc0知bac0

15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？

2解：设第一、二、三次的粮食价格分别为a1元/千克、a2元/千克、a3元/千克，a1,a2,a3R，则甲三次购粮的平均价格为10000(a1a2a3)a1a2a3，乙三次购粮的平均价格为30003300003，因为

100001000010000111a1a2a3a1a2a3aaa333a1a2a3123

1113133a1a2a3a1a2a3所以乙购的粮食价格低

说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

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