2.基本不等式教学设计及教案分析

附件2：教学设计模板

教学设计

课题名称：3.4基本不等式

姓名

学科年级

一、课程标准要求

使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用。

二、教材地位作用（用知识结构图说明）

《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。

刘亚娥

高一

工作单位

教材版本

西吉中学

人教A版

三、学情调查分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况）

对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的了解，但对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。

四、教学目标确定（从学段课程标准中找到要求，并具体化为本节课的具体要求）

（1）

知识与技能：学生能写出基本不等式，会应用基本不等式解决相关问题。

（2）

过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明等过程，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（3）

情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。

五、重点、难点

重点：理解基本不等式的本质并会解决实际问题。

难点：基本不等式几何意义的理解。

5额 六、教学过程

（一）问题导入

欣赏2002年国际数学家大会会徽，会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗？请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，a,b。

22那么正方形的边长为ab。

于是，4个直角三角形的面积之和S12ab。

正方形的面积S2a2b2。

由图可知S2S1，即a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时

a2b22ab

所以a2b22ab。

探究二：如下图所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位线，梯形ABGH相似于梯

形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。

ab因为EF是中位线，所以EF，

2由相似，可以得出GHab，

同样因为相似，有AGABa，

GDGHb又因为ab，所以AGGD，即AGAE，

ab所以GHEF,即ab。

2显然，当AB逐渐趋近CD的时候，GH也逐渐向EF靠近，

当AB=CD的时候，即ABCD是矩形的时候，GH与EF重合。

ab即，当且仅当ab时，ab。

2ab所以，ab，当且仅当ab时，等号成立。

2（二）概念深入

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

2请同学们运用代数法证明：

作法一（作差法）：

若a,bR，则aba2b22ab(ab)20ab2ab22

当且仅当a=b时，等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。

作法二（分析法）：

要证明abab，

2只需证明ab2ab，

即证ab-2ab0，

即为a-b20，该式显然成立，所以，当ab时取等号。

于是有这样的结论：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数，

2ab又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

作法三（几何法）：

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作

垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。

ab从而有CDab,OD。

2ab由于直角三角形COD中，直角边CD<斜边OD，即ab。

2ab当且仅当C点与圆心O点重合时，即a=b时，ab

2故再次证明：

ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab也说明了ab的几何意义：半径不小于半弦。

2a0,b0,ab（三）例题讲解

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当xy时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值。

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。）

1例2.求yx(x0)的值域。

x1变式1. 若x2，求x的最小值．

x21在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函x数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想。

ab并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab的三个限制2条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

（四）归纳小结&课后作业

基本不等式：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法。

作业：A组第4题，B组第1题，第2题

若a,bR，则ab

七、教学评价本节课立足知识的逻辑起点,注重核心知识的内在联系;教学主线明暗清晰,循序渐进呈现问题串以及思考链,注重数学思想方法的渗透;不薄传统,不厚现代,发挥了传统板书的作用,恰时恰点地发挥了几何画板软件的作用;教学过程流畅,教学效果良好.