探究与发现 组合数的两个性质教案3

组合数的两个性质

教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；

掌握组合数的两个性质，

并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：

一、复习回顾：

1．复习排列和组合的有关内容：

排

列

组

合

定

义

特

点

相同

公

式

强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．练习

1：求证：Cnmnm1mm1Cn1．

（本式也可变形为：mCnnCn1）

m45373232：计算：①

C10和C10；

②

C7与C6；③

C11

C11C6

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）

二、新授内容：

mnm1．组合数的

性质1：C

nCn．

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个．．．．mnm元素中取出n



m个元素的组合数，即：Cn．在这里，我们主要体现：“取Cn法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn0注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

nmnm3

此性质作用：当m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化．

22001200220011例如：C2002＝C2002＝C2002=2002．

x

4

CnCnyxy或xyn

2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

323解：⑴

C856

⑵

C721

⑶

C735

323

引导学生发现：C8．为什么呢？

C7C7

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

m

一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn这些1，组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1m1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从m个．根据分类计数原理，可a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

mmm1

n3．组合数的

性质2：C．

1＝Cn+Cnmm1

证明：

CnCnn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

4．补充例题

3456⑴

计算：C7

C7C8C9nnn1n2⑵

求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm

x12x3⑶

解方程：C13

C13

⑷

解方程：Cx2Cx2x2x313Ax3

1001234012345⑸

计算：C4和C5

C4C4C4C4C5C5C5C5C5012n1n

推广：CnCnCnCnCn2n

5．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

kkkkkk1

⑴

（讲解）Cn1Cn2Cn3Ck1CkCn

kk1⑵

（练习）CkCkk1Ckk2CkknCnk1

⑶

Cn2Cn3CnnCn123nn01n(CnCnCn)

2三、作业：

课堂作业：P103

1#，2#

课外作业：课本习题10.3；5#—8#

四、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．