小结优质课教案整理

3.4基本不等式

基于APOS理论的数学概念教学设计

江门市新会陈经纶中学 谢礼国

一、教学目标

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题（求最值、证明不等式）；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照APOS理论的数学概念教学过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

二、教学重点和难点

abab的证明过程及应用。

2难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）的正确理解；灵活利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

重点：基本不等式三、教学过程：

1．创设情景（操作阶段）

问题1：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确

，用它称物体的重量

，如何操作方能合理地表示物体的真实重量？

以下两种做法，哪个正确？

方案一

：左右各称一次，将两次所称重量a,b相加后除以2 ,即物体重量为ab。

2方案二

：左右各称一次，将两次所称重量a,b相乘后开平方，即物体重量为ab。

方案二正确理由：根据杠杆原理GL1aL2，GL2bL1

将以上两式左右相乘得GL1L2abL1L2即G2=ab，G=abab

问题2：比实际重量ab是重了，还是轻了？2abab，显然，当ab时取等号

2设计意图：由生活情景引入，激发兴趣，在APOS理论中达到操作阶段，通过讨论能找出最佳的称重方法，并发现

2

ab与ab的大小关系，为基本不等式提供了视觉支撑和数学符号支撑。

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2．代数证明（程序化阶段）

问题3：怎么证明这个结论？

请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．

证法一（作差法）：

a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

问题4：怎么理解“当且仅当”？

abab问题5：还有其它证法吗？

证法二（分析法）：由于a,bR，于是

要证明 2ababab，

2只要证明 ab2ab， 只要证明 ab2ab0，

只要证明(ab)20，该式显然成立，所以证法三（综合法）：

abab，当ab时取等号．

2因为(ab)20，所以a2abb0所以ab2ab,所以

abab，（当且仅当ab时，等号成立）2设计意图：鼓励学生自己探索推导，锻炼了学生的思维，培养了勇于探索的精神。学生在头脑中对不等式反复的证明活动作出尝试,随着思维的内化、整合与压缩，形成过程模式，抽象出基本不等式的概念，从而为第三阶段做好铺垫。

3．形成概念（对象化阶段）

ab我们称“ ab（a0,b0)当且仅当ab时,等号成立.”为基本不等式，

2称ab为a,b的几何平均数；称ab为a,b的算术平均数。

2问题6：你能用准确的文字语言表述基本不等式吗？

基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

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4．应用举例（应用阶段）

问题7：学习了基本不等式，有何用途呢？

应用一、证明不等式

例1：已知x、y都是正数，求证：

xy2

yxxy证明：∵x，y都是正数 0,0

xyxy22yxyxxy）

即2（当且仅当x=y时，等号成立。yxyx应用二、解决最值问题

例2.用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

解：设这个矩形的长、宽各为x,ym,篱笆长为Lm，则

xy100,L2x2y22x.2y4xy40,当且仅当x=y=10时，等号成立答：这个矩形的长、宽都为10m时,篱笆最短，最短篱笆是40m。思考：在下列函数中，最小值为2的是（ ）

A. yx5(xR,x0)5xB.ylgx1(1x10)

lgxC.y3x3x(xR)

D.ysinx1(0x)

sinx2问题8:利用基本不等式求最值时需要注意什么？

小结：利用基本不等式求最值时要注意下面三条：

“一正二定三相等”

设计意图：通过以上题目引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条件（一正二定三相等）在2解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

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