小结多媒体教案及点评

教学设计模板

姓 名

学 科

教材版本

课题名称

适用对象

周芮

数学

人教版（A版）

学 校

年 级

章 节

宜良县第一中学

高一

必修5 3.4 基本不等式

3.4 基本不等式（第1课时） 高一年级学生

设计思路：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的 教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

设计思路及亮点

亮点：1.本课采用“探究——发现”教学模式.教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流. 2.从代数、几何等多方面对公式进行证明，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。

1、知识与技能

1.探索并了解基本不等式的证明过程；

2.了解基本不等式的代数及几何背景；

3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

2、过程与方法

教学目标

通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观

通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

1、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的证明过程；

教学重点、难点

ab 2、难点：应用基本不等式ab求最值

21.新课导入

基本不等式ab教学过程

ab的几何背景：

2

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各国的数学家。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系） 设计意图：通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。 2.讲授新课

（1）探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长AH=a,DH=b,那么根据勾股定理正方形的边长AD=a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，大正方形的面积为a2b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2+b2>2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab。

(2)得到结论:一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)（3）思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

设计意图：用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。

（4）问题探究一：

从代数方面认识基本不等式abab

2

特别的，如果a>0,b>0,我们用a、b分别代替a、b ，可得ab2ab，

变形：abab(a>0,b>0)（当且仅当a=b时，等号成立）

2

评述：1.基本不等式（均值不等式）

如果a>0,b>0,那么ab≥

ab（当且仅当a=b时，等号成立）

2

ab为a、b的算术平均数，称ab为22.在数学中，我们称a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 问题探究二：理解基本不等式abab的几何意义

2探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？

2证明：∵AB是圆的直径，AB⊥DE, ∴Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB

∴ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab≤半径＝ab

2当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 基本不等式abab几何意义：半径不小于半弦

2设计意图：对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。

问题探究三：利用不等式求函数的最值

（1)若x+y=s(和为定值)，当x=y时，积xy取得最大值

. (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值2p

口诀：和定积最大，积定和最小

。

归纳：应用基本不等式求最值的条件：

一正————a与b为正实数

二定————积定和最小；和定积最大

三相等———若等号成立，a与b必须能够相等 设计意图：1．总结归纳利用基本不等式求最值问题，实现积与和的转化。2．培养学生在实际生活中对不等式的感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义。

（5）例题讲解

例题1：

求函数f(x)x4x(x0)的最小值。4

解：x0,0x

44f(x)x2x4

xx

4当且仅当x,即x2时，取“”号

x

当x2时，f(x)min2

规律技巧总结：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 设计意图：考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。

1(x1)的最小值。巩固训练1：

求函数f(x)xx1

1

解：x1x10,0x1

11

f(x)x(x1)1x1x1

12(x1)13x1

当x2时，函数f(x)的最小值是3.（1）已知此时x0,y0,且xy100,则xy的最小值是x_____,y_____.______,11（2）已知x0,y0,且xy1,则的最小值为____.xy解：（1）x0,y02xy100xy250022当且仅当xy50时，等号成立。2例题2：

解：（2）x0,y0,且xy11111xyxy(xy)2224xyxyyxyxxy1当且仅当,即xy时等号成立.yx2

课堂小结：

1.重要不等式

注意：（1）如果a,bR,那么a2b22ab不同点：两个不等式的适(当且仅当ab时，取“”号)用范围不同

（2）相同点：当且仅2.基本不等式（均值不等式）当a=b时，等号成立

（3）如果a0,b0,那么abab基本不等式的2适用条件:一正、二定、三(当且仅当ab时，取“”号)相等

口诀：和定积最大，积定和最小

。

设计意图：引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程. （6）课后作业

1、课本P100 习题3.4A组

第2题、第4题

x282.补充：x3,求函数y的最小值x1

2x3.思考：求函数y2的值域（试用两种方法求解）x1教学反思

1、不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。

2、基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法。代数学通过图形展示，让学生自己找出不等式关系，从而引出结论。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的条件。最后用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程。两

种方法就是希望学生真正理解公式的由来。从而能够灵活运用。

3、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题 的有力工具，所以一道求最值的实际问题引导学生理解运用不等式需要注意的三点：一正、二定、三相等。为后面求最值的题型做了铺垫。

4、课堂总结和课后作业都是给学生一个独立思考，理顺自己思路，回顾学习的内容，从而检验自己学习情况。