1.3 二项式定理（通用）教学设计一等奖

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

一、教学目标

1.知识与技能

（1）利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；

（2）能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．

2.过程与方法

（1）熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；

（2）熟练运用赋值法求一些代数式的值．

3.情感、态度与价值观

（1）培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．

（2）通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．

二、教学重点难点

教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．

教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．

三、教学过程

1.引入新课

前面我们学习了二项式定理，请回顾：

(1)(a＋b)n＝______________________________________(n∈N*)，这个公式表示的定理r叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中Cn(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有_________项．

(2)什么是二项式系数？什么是系数？

活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．

活动结果：(答案展示) 0n1n－1n－22rn－rrn(a＋b)n＝Cna＋Cnab＋C2b＋…＋Cnab＋…＋Cn展开式、二项式系nanb(n∈N)、r数、r＋1、n＋1.

二项式系数是Cn，系数是变量前的常数．

设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．

（3）提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表

n 1 2 3 4 5 6 7

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展开式的二项式系数

活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．

活动成果：

n 1 2 3 4 5 6

设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．

2.探究新知

提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？

活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．

活动成果：

(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的) 1 1 1 1 1 1 展开式的二项式系数

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

1 6

1

设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．

3.

讲授新知

提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？

活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．

活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…

(板书)二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即mnm

CnCn设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．

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提出问题2：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？

活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．

活动成果：因为

k＝Cnn(n－1)(n－2)…(n－k＋1)k1n－k＋1＝Cn，

k(k－1)！kn－k＋1n－k＋1n＋1kk1所以Cn相对于Cn的增减情况由决定．由>1k<

kk2n＋1可知，当k<时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小2的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即C最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn2nn12nn2nCn12n，即Cn12n,Cn12最大．

n(板书)(2)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即C最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn12n,Cn12最大．

n设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n的奇n偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k＝，从而学生可以2比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．

提出问题3：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．

活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．

活动成果：已知

122rrnn(1＋x)n＝C0n＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋Cnx，

令x＝1，则

0122nCnCnCnrCnnn

Cn即二项式系数之和等于2

我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．

(板书)(3)各二项式系数的和：CnCnCn012nCn2n

设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够第

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最大限度地达到教学目标．

提出问题4：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？

活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．

活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即

rr1r(板书)(4)Cn1CnCn

设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．

4.

运用新知

例1.下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．

(1)(a＋b)20

第________________项的二项式系数最大，是______________________；

(2)(a＋b)19

第________________项的二项式系数最大，是______________________．

思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．

解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020. (2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最10大，是C919＝C19. 点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．

例2.(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．

7解：由题意C4所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，n＝Cn，即第6项与第7项．

例3.证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

24思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋Cn＋Cn＋…，偶数项的二项式系数的和为1350nn－1n－22rn－rrnCn＋Cn＋Cn＋…，由于(a＋b)n＝Cna＋C1b＋C2b＋…＋Cnab＋…＋Cnnananb(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．

n1n－1n－22n－rrn证明：在展开式(a＋b)n＝C0b＋C2b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnanananb(n∈N)中，123nn21令a＝1，b＝－1，则得(1－1)n＝C0即0＝(C0n－Cn＋Cn－Cn＋…＋(－1)Cn，n＋Cn＋…)－(Cn＋30213Cn＋…)，所以Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令

122rrnnf(x)＝C0n＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋Cnx，

由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．

四、巩固练习

1.C7C7C71237C7__________ 第

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0122．当CnCnCnnCn2048时，n＝________ 53．在(1x)n(nN)的二项展开式中，只有x的系数最大，则n＝_____________. 124．展开式12C104C101110210C10________. 15．在二项式x2的展开式中，系数最大的项为第________项

x16.已知x的展开式中前三项的系数为等差数列，

42x（1）求二项式系数最大项

（2）求展开式中系数最大的项.

01237答案：1.解：因为C7＋C7＋C7＋C7＋…＋C7＝27＝128，所以

1237C7＋C7＋C7＋…＋C7＝128－1＝127. －2．解：由2n1＝2 048＝211，得n＝12. 3. 解：n=10 2101010104．解：令x＝2，得1＋2C110＋4C10＋…＋2C10＝(1＋2)＝3

5. 解：中间项是第6、7项，所以系数最大项为第7项

5735x26. 解（1）

（2）7x,7x4

8n五、课堂小结

活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．

活动成果：(板书) 1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．

2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用．

3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．

设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．

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