1.3 实习作业评课稿

解三角形

正弦定理和余弦定理

教学目标：理解并掌握正弦、余弦定理，能初步用正弦定理、余弦定理解斜三角形； 教学重点、难点：正弦、余弦定理的应用

教学设计：

一、正弦定理及其证明

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

sinAsinBsinC二、余弦定理及其证明

余弦定理

在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即

a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC；

余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

三、正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理的应用：

1．用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：

（１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（２）

已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角. ２．三角形解的个数

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b和A），用正弦定理求B时的各种情况：

⑴若A为锐角时: absinA 无解absinA 一解(直角)，如下图所示：

bsinAab 二解(一锐,

一钝)b 一解(锐角)a³

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已知边a,b和ACaAHa

⑵若A为直角或钝角时:ab 无解ab 一解(锐角)

精题精讲

【例1】

在ABC中，若B30，AB23,AC2，求ABC的周长。

思路解析：本题是是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC，容易想到由正弦定理去考虑，先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小，通过分析发现可以先将角C给找出，进而把问题解决。

解：由正弦定理得 sinCABsinB3。

AC2ABAC,CB，C60或120。

（1）

当C60时，A90，BC4，ABC的周长为623；

（2）

当C120时，A30，AB,BCAC2，ABC的周长为423。

综上，ABC的周长是623或423。

【例2】在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长,且（1）求sinB；

（2）若b42，且ac，求ABC的面积。

解：（1）由正弦定理得

cosC3ac。

cosBbasinAcsinCcoCs，，又bsinBbsinBcoBs即又a3c，bB3，CcosC3sinAsinCcosBsinB，。sBinCcoAsBsin(BC)3sinAcosBsBinCsAin，Asi

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sinA3sinAcosB，cosB1222。又0B，sinB1cosB；

3322（2）在ABC中，由余弦定理得

ac24ac32，又ac，a232,a224，33SABC1bba282。

222【例3】在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，若bacosC,casinB，试判断ABC的形状。

2a2b2c2ab2c22222解：由bacosC得，ba，即2babc，2ab2bb2c2a2，A90，casinBabb，故ABC为等腰直角三角形。

a【例4】已知有A,B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方。现在甲船从A岛出发，以9海里/时的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60方向行驶。问行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的距离。

解：设行驶x小时后，甲船到达C处，乙船到达D处。则CB219x,BD6x,CBD9030120，由余弦定理得：

CD2CB2BD22CBBDcos120CBBDCBBD

213x6x219x97x2x73x63x23

2222当x2时，CD有最小值，最小值为633321海里。

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基础达标

1．

在ABC中，已知A150,a3，则其外接圆的半径R（ ）

A．3 B．3 Ｃ．2 D.不确定 1．思路解析：由于在ABC中，有a362R,R3，故选A。

sinAsin150答案：选A。

2．在ABC中，sinAsinB是AB的（ ）

A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．思路解析：由

ABab2RsinA2RsinBsinAsinB（其中2R是ABC的外接圆半径）

得知，sinAsinB是AB的充要条件，从而得到正确答案。

答案：选Ｃ。（注：此题的结论最好记住，这对于求解三角形中的有关三角函数值的计算很有帮助。）

3．在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，下列等式恒成立的是（ ）。

A．acosCccosA B．bsinCcsinA C．absinCbcsinB D．asinCcsinA ac3．思路解析：根据正弦定理可知有：，asinCcsinA

。

sinAsinC 答案：选

D。

4．在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，且a:b:c1:3:2，则sinA:siBn:sCin（ ）。

A．3:2:1 B．

2:3:1

C．

1:2:3 D．

1:3:2

4．思路解析：根据正弦定理有： 答案：选D。

5．在ABC中，已知三边a6,b7,c8，试判断ABC的形状。

5．思路解析：本题主要涉及到三角形的形状问题，在此可以借助于余弦定理判断好象每个内角是锐角、钝角还是直角，事实上在此只要判断其中的最大内角是怎样的角就可以了（因为这个三角形显然不是等腰三角形），而要判断它是怎样的角，只要判断其符号如何，即判断ab与c的大小即可。

解：由题意知

cba，所以

C最大，而ab364985c64，故内角C是锐角，故ABC为锐角三角形。

222222abc，sinA:sinB:sinCa:b:c

sinAsinBsinC

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6．．在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长。已知a,b,c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及bsinB的值。

c6．思路解析：本题已知条件中所出现的边之间的关系及其形式，容易联想到余弦定理，从而借助于余弦定理把相应角给找出，进而看后者，然而结合已知条件，看似b,sinB,c不可求，但仔细结合正弦定理分析，从整体来看容易发现问题能够解决。

解：a,b,c成等比数列，b2ac。又a2c2acbc，b2c2a2bc。

b2c2a2bc1，A60。

在ABC中，由余弦定理得

cosA2bc2bc2在ABC中，由正弦定理得

sinBbsinA2，又ba,cA60，absinBb2sin603。

sin60cca2a2b2sinAB7．

在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长。求证：。

2csinC7．

思路解析：本题要证的等式中既有边又有角，同样容易考虑到要么将边化为角要么将角化为边，从而借助于正、余弦定理把问题解决。

sin2Asin2BsinAB证明：根据正弦定理知，要证明的等式等价于，又注意2sinCsinC到

sinCsinAB，即要证：sinAsinBsinABsinAB，即证：22sin2Asin2Bsin2Acos2Bcos2Asin2B，即证：

sin2A1cos2Bsin2B1cos2A，亦即证：sin2Asin2Bsin2Bsin2A，而a2b2sinAB上式显然成立，故成立。

2csinC8．

某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米后到达D处，此时测得C、D间的距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？

8．

思路解析：本题是与实际生活有关的问题，对于这样的问题也是学数学、用数学的一个方面的体现，数学从实际生活中来，又反过来为实际生活服务。此题主要涉及到方位角，对于方位角不要要分清东南西北四个基本方向，然后对于一些方位术语要有清楚的认识才行，否则就容易出错。

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BD2BC2CD231220221223解：由题意知，CAD60，cosB，2BDBC2312031sinBBCsiBn12324。由余弦定理得

。在ABC中，ACsinA31即BC2AC2AB22ACABcosA312AB22422AB24cos60，AB224AB3850，AB35或11（舍）。故ADABBD15（千米），此人所在D处距A还有15千米。

2229. 在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知acbbc，且a:c231:2，求内角C的大小。

9.

思路解析：本题由第一个条件容易想到应用余弦定理从而可以将角B求出,再由第二个条件容易想到从正弦定理出发，利用相关的边角关系将问题解决。

解：由acb2accosBac得 cosB由221，B60。

2a:c31:2得sinA:sinC31:2，sinAsin18060Csin120Csin120cosCcos120sinC33cosCsinC0,sinCcosC，tanC1，C45。

2231sinC2即

综合发展

10．我缉私巡逻艇在一小岛南50西，距小岛12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正向岛北10西方向行驶，测得其速度为10海里/时，试问我巡逻艇必须用多大的速度朝什么方向航行才能恰好在两小时后截获走私船？

（参考数据：sin380.62）

10．思路解析：本题来源于实际生活，涉及到方位角，所以象这样的题目最好先根据题意画出相应的示意图，以帮助问题正确解决。对于题中所涉及的方位角，这就要求学生对于基本的方位一定要清楚，否则就会在解决问题的过程中出现问题，从而导致出错。

解；设我巡逻艇恰在C处截获走私船，我巡逻艇的航行速度为v海里/时，则BC2v,AC20。依题意，BAC1805010120，由余弦定理得

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BC2AB2AC22ABACcos120，BC2784,BC282v，v14。又由正弦2028320.62，ABC38，从而易知，我定理得 sinABCACsinBACBC巡逻艇必须用14海里/时的速度向北12东的方向航行。

11．在一很大的湖岸边（可视湖岸为一直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮起跑，其方向与湖岸成15，速度为2.5千米/时，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4千米/时。试问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

11．思路解析：本题是从实际生活中抽象出来的数学问题，要求学生根据已知条件画出其示意图来，以帮助思考、解决问题。另外还要求学生能将生活语言恰当地转化为数学语言，要求人能追上小船这样的生活语言，这样的要求反映在数学上又是什么意思，这些都要求同学能正确地转化。

解：设小船的速度为v千米/时，显然当v4时，人不可能追上小船；当0v2时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2v4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设人追上小船所用时间为t小时，其中人在岸上跑的时间为kt0k1，则人在水中游的时间为1kt小时，人要追上小船，则人船的运动路线必构成一个三角形。

OA4kt,AB21kt,OBvt，由余弦定理得 AB2OA2OB22OAOBcos15，

即41kt4ktvt24ktvt222262，整理得 412k2262v8kv240，要使这个关于k的一元二次方程在0,1内有v241且2实数解，则必须有：012此解得 2v22，即vmax22。

62v8412v240，由2故当船速在2,22时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为22千米/时，由此可见当船速为2.5千米/时时，人能追上小船。

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