阅读与思考 海伦和秦九韶优质课教学设计

《海伦公式》教学设计

河北省邯郸市第一中学

数学组

李志娜

【教学内容】人教版数学必修五《海伦公式》

【教学对象】高二学生

【教材分析】本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，《高中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生――在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美，感受中华文明之丰富，唤醒学生的爱国情怀，激发学习数学的热情。

【学情分析】高二学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。 【教学目标】 1、知识与技能：

（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；

（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；

（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：

（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：

（1）体会到数学的简洁美；

（2）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。 【教学难点、关键】海伦公式的证明。 【教学方法】自主探究、引导探究、实例运用。 【教学过程设计】 一、回顾旧知 1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，主要有三种，S111acsinB,Sch,S(abc)r

222 2、复习已知三边的具体值求三角形面积的方法。先用余弦定理求出一角的余弦，再求正弦，最后代入面积公式。 二、思考如果已知三边a，b，c，如何求三角形面积

。

学生回答：海伦公式。引出海伦和秦九韶，以及相关视频。

设计意图：通过观看视频，系统了解海伦公式和三斜求积术，

向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。更重要的是让学生体会数学源于生活，服务于生活的本质。

三、尝试证明海伦-秦九韶公式

想法一：利用余弦定理（视频中已经介绍）

想法二：利用勾股定理。

证明海伦公式。首先，引导学生从面积公式S生独立思考后，请学生上台板书。

证明：如右图，

1ch

入手，尝试将高用三边表示。学2，根据勾股定理，得：

此时化简得出海伦公式，证毕。

想法三：利用内切圆性质

由于求三角形面积还有一种方向：S1(abc)r，可以尝试利用内切圆的有关性质，2寻找内切圆半径与三角形三边之间的关系，从而将上述公式中的r用三边表示,从而推出海伦公式或秦九韶公式。由于本部分内容比较难以理解，所以采用教师讲解和课件演示相结合的方式。具体证明如下

证明:作ABC内切圆O,D,E,F为切点,半径为r.abcp,CDpc,2同理AFpa,BFpb,ArrBrrCrr而tan,tan,tan,2AFpa2BFpb2CDpcBC1tantanABCπA22A ,tanBC222tantan

F 22rr1rpbpcO 即rrpaB pbpcD 则AFBFCD整理得r由Spr(pa)(pb)(pc)pp(pa)(pb)(pc),其中pabc2E C 设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令p=1/2*（a+b+c）。体会海伦公式简洁的魅力。

引导学生尝试其他证明方法，比如海伦本人如何证明的，目前证明方法有哪些等。进一步可以激发学生的探知欲。

四、海伦公式的应用 例题1：已知三角形三边为分别为m，n，l其周长记为C，求该三角形面积。那么我们可以得C=m+n+l利用刚刚学习的海伦公式可知S=√[C/2*（C/2-a）（C/2-b）*（C/2-c）*] 老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母或者周长的字母解决问题。 设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握海伦公式的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

海伦公式除了可以解决已知三角形三边长求面积的问题外，还有什么应用呢？ 例题2：三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b.2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状. 先让学生们独立做题，最后由老师板书演示解得该三角形为直角三角形。

设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。 五、小结并归纳三角形面积公式 通过板书总结本堂课的内容 六、课后探究 习题：1、求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值；2、老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式

设计意图：1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。 【板书设计】（略）

【创新之处】 1、本节对于程度较好的学生，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要，设计本节内容有利于学生日后的进步。 2、本节内容在众多教学设计中鲜有涉及，本文则详细介绍和证明海伦公式，严谨证明海伦公式作为授课思路。 3、本文学习后，本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。 4、海伦公式的应用方面，通过练习，让学生发现海伦公式更广阔的应用，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 5、课程开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。

6、本节课中的视频资料，极大的扩大了学生的知识视野，激发了学生了解相关历史的欲望，从而激发学生的爱国热情，学习激情。