探究与发现 组合数的两个性质优质教案设计

探究与发现：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

英德中学 于成在

教学目标：

知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题

教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算

教学过程：

一、复习引入：

离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kknk（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

Pn(k)Cnpq，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

P 0 00nCnpq

1 …

k …

n nn0Cnpq

11n1Cnpq

…

kknkCnpq

…

kknk由于Cnpq恰好是二项展开式

00n11n1kknknn0(qp)nCnpqCnpqCnpqCnpq

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，

kknk记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpq＝b(k；n，p)．

二、思考探究：

例1（课本57页例4）．某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中，

(1)恰有8次击中目标的概率； (2)至少有8次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) . (1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 8P(X=8)＝C100.88(10.8)1080.30. (2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为 P(X≥8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) 8910C100.88(10.8)108C100.89(10.8)109C100.810(10.8)1010

0.68. 思考1：

如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次？

分析：设他在10次射击中，击中目标的次数为X，由于射击中每次射击的结果是相互独立的，因此X～

B(10,0.8)，于是恰好k次击中目标的概率为

kP(Xk)C100.8k0.210k,k1,2,...,10

假设P(Xk)的值最大，

则P(Xk)P(Xk-1)

得7.8k8.8

P(Xk)P(Xk1)由以上分析可知，他在10次射击中，最有可能8次击中目标。

思考2：

如果X～B(n，p),其中0p1，那么当k由0增大到n时，P(X=k)是怎样变化的？

k取何值时，P(X=k)最大？

kk分析：P(Xk)Cnp(1p)10k,k1,2,...,n

假设P(Xk)的值最大，则P(Xk)P(Xk-1) 得p(n1)1kp(n1)

P(Xk)P(Xk1)所以（1）当(n+1)p是整数时，k=(n+1)p-1 或k=(n+1)p时，P(X=k)最大。

（2）当(n+1)p不是整数时，k=[(n+1)p]时，

P(X=k)最大。“[ ]”表示取整。

当k有0增大到n时，P(X=k)的值是由小到大，再由大到小。

三、课堂小结

：

如果X～B(n，p),其中0p1，那么当k由0增大到n时，P(X=k)的值是由小到大，再由大到小。

（1）当(n+1)p是整数时，k=(n+1)p-1或k=(n+1)p时，P(X=k)最大。

（2）当(n+1)p不是整数时，k=[(n+1)p]时，P(X=k)最大。“[ ]”表示取整。

四、课后作业：

1)，求使P(X=k)取得最大值时k的值。

342.

如果X～B(15，)，求使P(X=k)取得最大值时k的值。

51.

如果X～B(20，课本58页 练习1、2、3 课本59页

习题 2.2 B组1、2、3