复习参考题教学设计第一课时

1.1回归分析的基本思想及其初步应用

教学目标：我们知道，函数关系是一种确定性关系，

而相关关系是一种非确定性关系.回归分析

(regression analysis)是对具有相关关系的两个变量进

行统计分析的一种常用方法. 下面我们通过具体问题，进一步学习回归

分析的基本思想及其应用于

问题一：结合例1出线性回归模型及随机误差。并且区分函数模型和回归模型。

问题1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表

体重/kg 身高/cm 59 43 61 64 175 4 54 170 5 50 157 6 57 165 7 48 165 8 170 155 165 2 3 编号 1 求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm

的女大学生的体重。

解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：

2.回归方程：

探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

如果不是，你能解析一下原因吗？

答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，

只能给出她们平均体重的估计值。

由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，

所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：

其中a和b为模型的未知参数，e称为随机

误差.

函数模型与“回归模型”的关系

函数模型：因变量y完全由自变量x确定

回归模型：

预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定

注：e 产生的主要原因：

(1)所用确定性函数不恰当；

(2)忽略了某些因素的影响；

(3)观测误差。

思考:产生随机误差项e的原

因是什么？

问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，

它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？

结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种

方法获取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量

观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价

极为有用，因此在此我们引入残差概念。

问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？

我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。残差分析（1）查找异常样本数据（2）画残差图（3）分析残差图残差图的制作和作用：

制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择. 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，

常用于调查数据错误. 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，

常用于研究模型是否有改进的余地. 作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的

点应该分布在以横轴为中心的带形区域.

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

身高

/cm 165

165

157

170

175

165

155

170

体重/kg

48

57

50

54

64

61

43

59

残差

-6.373 2.627

2.419

-4.618

1.137

6.627

-2.883

0.382

•坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；

•若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以

横轴为心的带形区域；

•对于远离横轴的点，要特别注意。

几点说明：

第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为

的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数

据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。

另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这

样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似

性，

都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。

误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，

误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统

误差与

随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改

进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，

测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，

却不能避免。

残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确

性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的

分布特性，回归方程的选择有关。

相关系数

相关系数的性质

(1)|r|≤1． (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，

相关程度越弱．

注:b 与 r 同号

问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相

关程度怎样呢？

相关系数

ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常：

r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般;

r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;

对r进行显

著性检验

问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？

1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。

2.我们建立的回归方程一般都有时间性。

3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。

4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。

涉及到统计的一些思想：

模型适用的总体；模型的时间性；

样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确

理解。

总结：一般地，建立回归模型的基本步骤为：

（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。

（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系

（如是否存在线性关系等）。

（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则

选用线性回归方程y=bx+a）. （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。

（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残

差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或

模型是否合适等。

问题五：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？

课堂知识延伸

我们知道，刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印，即将获得一条重要的破案线索，其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系，可以根据一个人的

脚掌长度来来预测他的身高…… 我们还知道，在统计史上，很早就有人收集过人们的身高、前臂长度等数据，

试图寻找这些数据之间的规律…… 在上述两个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组4-6名同学，在老

师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的实践能力。

数学建模的题目是：收集一些周围人们的脚掌长度、前臂长度中的一个数据及其

身高，来作为两个变量画散点图，如果这两个变量之间具有线性相关关系，就求出回

归直线方程，另选一个人的这两个变量的数据，作一次预测，并分析预测结果。

最后以小组写出数学建模报告，报告要求过程清晰，结论明确，有关数学论述准确，以下两个问题需要注意：

（1）如果脚掌长度不方便，可改量脚印的长度。

（2）数据尽量取得分散一些。