小结教案和学案内容

章

末

归

纳

整

合

一、教材分析

“基本不等式”

是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

二、学情分析

学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步了解，学会运用不等式。但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍，特别是在基本不等式的几何意义理解上会存在困难。

三、教学目标

1、知识与技能：

（1）学会推导基本不等式；

（2）理解基本不等式的几何意义；

（3）掌握基本不等式成立、取等条件。

2、过程与方法：

（1）探索了解基本不等式的证明过程。

（2）体会基本不等式的证明方法。

3、情感态度价值观：

（1）通过探索基本不等式的证明过程，培养学生的探索、研究精神。

（2）通过对基本不等式成立条件的分析，培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

四、教学重难点

教学重点：从不同角度证明基本不等式；

教学难点：从数形结合的思想理解不等式的含义，挖掘基本不等式的内涵及几何意义。

五、教学过程

知识网络

要点归纳

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．

2．一元二次不等式的解法及其应用

一元二次不等式的解集可以通过两种方法求解，第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的一元一次不等式组的交集去解决．

第一种方法意在让我们通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，充分注重数形结合，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．对于这种方法一定要有深刻的认识与体会，要从图象上真正把握其内在的本质，自己找出不等式解所对应的区间．

第二种方法意在说明一元二次不等式对于形如

x－a>0的分式不等式，可转化为与它同解的一元二次

x－b

不等式(x－a)(x－b)>0去解，它是化归思想的体现，

即化分式不等式为一元二次不等式．化一元二次不等

式为一元一次不等式组去解的思想方法．

a＋b

3．基本不等式≥ab(a、b为正数)及应用

2

基本不等式：两个正数的算术平均数不小于(1)

a＋b

它们的几何平均数，即ab≤(a，b>0)；

2(2)最大(小)值定理：两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值．要通过自己的思考与尝试加深对均值不等式最大(小)值定理的正确理解，在使用均值不等式与最大(小)值定理求某些函数的最值时，要特别注意定理成立的条件是否具备，如均值不等式中的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．

在公式a＋b≥2ab以及算术平均数与几何平均

a＋b

数ab≤(a，b>0)的定理中，要注意以下两点：

2

a＋b

①a2＋b2≥2ab和ab≤(a，b>0)成立的条件2

是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者则要

求a，b都是正数．

22

②这两个公式都是带有等号的不等式，因此对

其中的“当且仅当……时取‘＝’号”这句话的含

a＋b

义要搞清楚．如在ab≤(a，b>0)中，当a＝b2

a＋b

时取等号，其含义就是：a＝b⇒2＝ab.

a＋b仅当a＝b时取等号，其含义就是：＝ab2

⇒a＝b. a＋b

综合起来，其含义就是：a＝b是＝ab的充2

要条件．

(3)利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤

①认真分析理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数，凑出“正数”、“定值”、“相等”三个条件)；

④给出问题的答案．

4．二元一次不等式(组)表示平面的区域与线性规划

(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线)．Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线(画成实线)．

(2)确定二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中所表示的平面区域的判断方法：

由于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)来说，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以Ax0＋By0＋C的正负情况便可判断Ax＋By＋C>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．

(3)二元一次不等式组表示的平面区域，就是这个不等式组的各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．

(4)解决线性规划问题最大的困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．主要障碍有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍及题目本身文字过长等因素，解题时要认真分析理解题意，能够抓住问题本质特征，要根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题，然后利用图解法求出最优解，作为突破这个难点的关键．对于寻找整点最优解的问题，还可以利用计算机辅助解决．

要点整合

题型一

一元二次不等式的解法

解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根，二次函数图象在x轴上方，表示函数值大于0，这时x的范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0，这时x的范围就是ax2＋bx＋c<0的解，解不等式是应该把二次函数图象画出来，

用数形结合的思想方法解题．

【例1】

解不等式－1

由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；

由②得(x＋3)(x－1)≤0, 所以－3≤x≤1. 将①、②的解集在数轴上表示

出来如图，求其交集得原不等式的

解集为x|－3≤x＜－2或0＜x≤1.



将①、②的解集在数轴上表示出来如图，求其交集得原不等式的解集为x|－3≤x＜－2或0＜x≤1. 

方法点评：(1)本例中端点值能否取到易搞错，“＝”号易漏掉．(2)利用转化思想及数轴可以准确地找出不等式的解集．

题型二

简单线性规划在实际问题中的应用

(1)解线性规划问题的关键步骤是画图，所以作图要尽可能地准确，图上操作尽可能的规范．(2)因为作图存在误差，若图上的最优点并不明显易辨，可求出可能是最优解的点的坐标，然后逐一检查、确定最优解．

在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．

【例2】

某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取

多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？

解：设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面

3x＋6y≥45，



积为z则约束条件为5x＋6y≥55，目标函数z＝2x

x，y∈N.

＋3y.作出以上不等式组表示的可行域，如图所示．

作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移，

当直线经过可行域上的点M时，z＝2x＋3y



5x＋6y＝55取得M点坐标为

得最小值，由3x＋6y＝45

(5,5)．此时，zmin＝2×5＋3×5＝25.

方法点评：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解答这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数，然后由约束条件找出可行域，最后利用目标函数的平移，在可行域内求出使目标函数达到最值的点，从而求出问题的最优解．

题型三

基本不等式与最值

应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否成立．

【例3】

已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．

解：因为2a＋1>0，b＋2>0，y＝(2a＋1)(b＋2)，

6a2＋3＋4b2＋8

所以12y＝32a2＋1·4b2＋2≤. 2

因为3a2＋2b2＝5，所以6a2＋4b2＝10.

2173所以12y≤，可得y≤

24

147

所以y的最大值为. 16

方法点评：本题是根据约束条件3a2＋2b2＝5进

行凑配的，为了利用它，我们转化成求12y的最大值，

并将根号内含有a2与b2的项的系数变为6与4.

【例4】

某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为112 m2，预计：(1)修复1 m旧墙的费用是建造1 m新墙费用的25%，(2)拆去1 m旧墙用以改造建成1 m新墙的费用是建1 m新墙的50%，(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．

解：显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留

在新墙处为好．设修复成新墙的旧墙为x

m，则拆

改成新墙的旧墙为(12－x)m，于是还需建造新墙的

112224长为2·＋(x－1)－(12－x)＝2x＋－13.

xx

224y＝x·a·25%＋(12－x)·a·50%＋(2x＋x－13)a

7x

224＝a4＋x－7.



7x2247x224

又由x>0，有＋≥2 ·＝282. 4x4x

7x224

当且仅当＝，即x＝82≈11.3时，上式等4x

号成立．

因此修复的旧墙约为11.3 m，拆除改建成新墙的旧墙约为0.7 m，这样建造的总造价最小．

方法点评：在使用极值定理求函数的最大或最小值时，要注意以下几点：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足(积)(或和)为定值．

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