1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件配套优秀教案案例

选修1-2.

第一章、统计案例

1、1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）

一、教学内容分析

高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想,利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。

本节课内容回归分析的基本思想及其初步应用, 是一种分析整理数据的方法，是在学习了必修三统计的基础上，通过实例的解决让学生进一步让学生经历数据处理的过程，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。。

同时让学生了解在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本课时就是学习如何建立线性回归模型，在此的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型。

二、目标及目标分析

知识与技能

1．通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想，方法及初步应用．

2.能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。

3.知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

过程与方法

1. 让学生经历数据处理的过程，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。

2．通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。

3．培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观

1.通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。

2.通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。

三、教学重点、难点

重点：线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型。

难点：相关性检验及回归分析基本思想的理解与应用，“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变非线性为线性，建立线性回归模型。

四、教学方法：问题探究，动手操作

五、教学过程设计

环节一：创设情境

生活中的问题:

1 肺癌是严重影响威胁人类生命的一种疾病，吸烟与肺癌有关系吗

？

2 身高和体重之间有关系吗？

3 人体的脂肪含量和年龄之间有关系吗？

4 某人开了个小卖部，气温对热饮的销售量有影响吗

？

以上每两个“量”之间都有相关关系

，不能“精确”的描述它们之间的关系

想一想：

在以往的学习中，有研究过具有相关关系的两变量的关系吗

？

回归分析的基本步骤：

(1) 画出两个变量的散点图。

ˆa(2) 求回归直线方程。

yˆbxˆn

(xiX)(yiY)

(3) 用回归直线方程进行预报。

实例1：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 摄氏温度

-5 热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 ˆbi1(Xi1n2X)iˆˆYbXa探究1：请结合以上数据，猜想他们的关系是什么？

探究2：你选择了什么样的回归模型？根据自己得到的模型，预测气温是2摄氏度时这天卖出的热饮杯数。

环节二．学生活动

由学生思考，讨论交流。

(1)画出散点图；

(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；

(3)求回归方程；

(4)如果某天的气温是

2。C,预测这天卖出的热饮杯数。

问题：预报设值一定是实际值吗？误差是多少？你认为你得到的模型能较好的刻画气温与卖出热饮杯数的关系吗？

环节三．建构数学模型

1．由学生解决的过程提出的问题，引入线性回归模型：

我们将Y=bx+a+e称为线性回归模型．解释变量x，预报变量y，e称为随机误差。

其中a+bx是确定性函数，



是随机误差

注：

产生的主要原因：

(1)所用确定性函数不恰当；

(2)忽略了某些因素的影响；

(3)观测误差。

2．线性回归模型应考虑的问题：

模型是否合理；

在合理的情况下，如何求a,b 3．线性回归方程：

（1）

相关系数r：rn(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1n2xynxyiii1n2222xn(x)yn(y)iii1i1nn

相关系数的性质：

r≤１,r>0 正相关，r<0 负相关；

r越接近１，x,y的线性相关程度越强；r越接近于０，x,y的线性相关程度越弱．

2总偏差平方和 : yiy1n2

ˆi=yi-yˆi

3残差 eˆi

4残差平方和 yiy1n25回归平方和 = 总偏差平方和 - 残差平方和6回归效果的相关指数R21ˆiyiyn21n1

yiy27残差分析通过残差判断模型拟合效果判断原始数据是否存在可疑数据

环节四：深入探究

例题

从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：

编号

身高

体重

1

165

48

2

165

57

3

157

50

4

170

54

5

175

64

6

165

61

7

155

43

8

170

59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重。

分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为解释变量，体重为预报变量。

解：画出散点图：

7065体重/kg6055504540150155160165身高/cm170175180

, 采用回归直线方程统计分析两变量之间的关系，设求出, 。

预报身高172cm女大学生体重为：思考：身高172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，其原因是什么

？

从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ

，其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e是y与ｂｘ＋ａ之差, 通常ｅ称为随机误差。在回归模型里，误差必定存在。

为什么会产生随机误差？

1 体重除了受身高的还受其他很多因素的影响，例如饮食习惯，运动习惯，度量误差。2可能有更好的非线性模型，能更好的描述身高和体重的关系。事实上无法知道身高，体重的确切关系，只是利用了线性回归方程来近似刻画它们的关系。

我们知道用回归方程刻画两变量之间的关系随机误差肯定存在，需要考虑误

差是影响是否很大？若误差较小，反正是近似关系，可以接受。若误差较大，则求出来用于刻画两变量关系的回归方程是不可靠，所得的预报值不能用于决策。

分析误差----残差

针对每个样本点,为相对于点的残差。

女大学生的身高和体重原始数据及体重的残差数据：

编号

身高

体重

残差

1

165

48

-6.29

2

165

57

2.71

3

157

50

2.50

4

170

54

-4.53

5

175

64

1.22

6

165

61

6.71

7

155

43

-2.81

8

170

59

0.47

分析误差-----绘制，分析残差图

如何分析残差图？

确认异常点的数据在抽样采集过程中是否有错误。

残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域，说明选用的回归模型比较合适。区域的宽度越窄，说明回归模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。

用相关指数R2刻画模型的拟合效果()

R1，说明回归模型的拟合越好；即预报精度越高

R20，说明回归模型的拟合越差；预报精度低。

2

表示“女大学生的身高解释了64%的体重变化”，或者“女大学生

的体重差异有64%是由身引起的”。

环节五：归纳小结

1.

建立回归模型的基本步骤：1、2、3、4、5、（课本第9页）

2．当选用非线性回归模型时，如何建立模型？

3.如何比较不同模型的拟合效果？

环节六：课后作业

1.

查阅有关资料了解我国2008，2009年的国内生产值，分析由回归方程计算结果产生误差的原因，预测2010年国内生产值。

2.

就自己感兴趣的问题，利用学过的有关统计知识，写一篇关于预测、决策的文章。（如股市、房价、大学生就业等等社会热点问题）