阅读与思考 错在哪儿教案2

第三章

3.3

第3课时

一、选择题

y≤11．若变量x、y满足约束条件x＋y≥0x－y－2≤0A．4

C．2

[答案]

B [解析]

先作出可行域如图．

，则z＝x－2y的最大值为(

) B．3 D．1

作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．

当移至A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B．

2x＋y≤42．设变量x、y满足约束条件4x－y≥－1x＋2y≥23A．[－，6]

2C．[－1,6]

[答案]

A [解析]

本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行1域如图，作直线l0：3x－y＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z有最大值，经过点B(，3)23处z有最小值，即－≤z≤6. 2

，则目标函数z＝3x－y的取值范围是(

) 3B．[－，－1] 23D．[－6，] 2

x＋y－3≥03．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为(

) x－2y≥0

A．1

C．3

[答案]

A B．－1 D．－3 [解析]

作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.

2x＋9y≥364．变量x、y满足下列条件2x＋3y＝24x≥0y≥0A．(4,5)

C．(9,2)

[答案]

B 2x＋y≥12

，则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是(

) B．(3,6) D．(6,4) [解析]

检验法：将A、B、C、D四选项中x、y代入z＝3x＋2y按从小到大依次为A、B、D、C．然后按A→B→D→C次序代入约束条件中，A不满足2x＋3y＝24，B全部满足，故选B．

2x＋y≤45．已知x、y满足约束条件x＋2y≤4

，则z＝x＋y的最大值是(

) x≥0，y≥0A．43

B．83

C．2

D．4 [答案]

B [解析]

画出可行域为如图阴影部分．

由x＋2y＝4y＝4

，解得A(4，42x＋33)，

∴当直线z＝x＋y经过可行域内点A时，z最大，且z8max＝3.

6．(2014·广东理，3)若变量x，y满足约束条件

y≤xx＋y≤1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(

y≥－1

A．5

B．6

C．7

D．8 [答案]

B [解析]

作出可行域如图，

)

y＝x，x＝－1，由得∴A(－1，－1)；

y＝－1，y＝－1，x＋y＝1，x＝2，由得∴B(2，－1)；

y＝－1.y＝－1，

y＝x，由得x＋y＝1，1y＝2.1x＝，2

11∴C(，)．

22作直线l：y＝－2x，平移l可知，当直线y＝－2x＋z，经过点A时，z取最小值，当ymin＝－3；当经过点B时，z取最大值，zmax＝3，

∴m＝3，n＝－3，∴m－n＝6. 二、填空题

x≥07．已知x、y满足约束条件x≥y2x－y≤1[答案]

5 [解析]

作出可行域如图，当直线z＝3x＋2y平移到经过点(1,1)时，z最大∴zmax＝5.

，则z＝3x＋2y的最大值为________．

y－2≤08．已知x、y满足x＋3≥0x－y－1≤0[答案]

25

，则x2＋y2的最大值为________．

[解析]

画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．

由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，

则|OA|＝9＋16＝5，

|OB|＝9＋4＝13，

|OC|＝9＋4＝13. 设P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，

则x2＋y2＝(x2＋y2)2＝|OP|2，

由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25. 三、解答题

9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．

4x＋11y≤400[解析]

设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则4x＋6y≤240x≥0y≥0作出可行域如图所示．

3x＋2y≤120

，

目标函数为：z＝2x＋y. 作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．

故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．

10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．

[解析]

设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知y≤4，x＋y≤10，4x×6＋3y×10≥180，x≥0，y≥0，所示．

x≤8，

目标函数为z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出可行域如图

由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．

一、选择题

x≥11．已知x、y满足y≥0x＋2y－3≥0A．最大值是2，最小值是1 C．最大值是2，最小值是0 [答案]

C x＋2y－5≤0

y，则的最值是(

) xB．最大值是1，最小值是0 D．有最大值无最小值

x＋2y－5≤0x≥1[解析]

作出不等式组y≥0x＋2y－3≥0

表示的平面区域如图．

y表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x轴上的线段BCx上时取得最小值0，∴选C．

x＋2y－5≥02．若实数x、y满足不等式组2x＋y－7≥0x≥0，y≥0A．13

C．20

[答案]

A [解析]

作出可行域如图所示，

，则3x＋4y的最小值是(

) B．15 D．28

3z令z＝3x＋4y，∴y＝－x＋

44

3z求z的最小值，即求直线y＝－x＋截距的最小值．

44经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．

∴zmin＝9＋4＝13. y＋x－1≤03．已知变量x、y满足约束条件y－3x－1≤0y－x＋1≥0A．4

C．1

[答案]

B [解析]

作出可行域如图，

作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0可见，当l0经过可行域内的点B(1,0)时，z取得最大值，∴zmax＝2×1＋0＝2.

，则z＝2x＋y的最大值为(

) B．2 D．－4

4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(

) A．2 800元

C．2 200元

[答案]

C [解析]

设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y. 0≤x≤4线性约束条件为0≤y≤82x＋y≥10B．2 400元

D．2 000元

，

4t作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，3300故选C．

二、填空题

x－y＋2≥05．已知实数x、y满足x＋y≥0x≤1[答案]

－1 [解析]

画出可行域如图中阴影部分所示．

，则z＝2x＋y的最小值是________．

由图知，z是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋z经过点A(－1,1)时，z取最小值，此时x＝－1，y＝1，则z的最小值是zmin＝2x＋y＝－2＋1＝－1. x＋y≤16．设x、y满足约束条件y≤xy≥0[答案]

2 [解析]

可行域如图，当直线z＝2x＋y即y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmax＝2.

，则z＝2x＋y的最大值是________．

三、解答题

7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲

煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？

[解析]

设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费

z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y. y≥0200－x≥0x、y应满足260－y≥0x＋y≤280200－x＋260－y≤3600≤x≤200即0≤y≤260，

100≤x＋y≤280x≥0

，

作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．

设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．

∵点M的坐标为(20,260)，

∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．

8．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．

[解析]

设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，

则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且

1.8x＋1.5y≤18x＋0.6y≤8x、y∈N

，

作出不等式组表示的平面区域如图，

1.8x＋1.5y＝18又由，

x＋0.6y＝8

2060解出x＝，y＝，

772060∴M(，)，

77∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．

又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；

过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．

2060M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)77时z＝167.6. ∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．

答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．