小结教案和学案内容

《数列求和的方法》教学设计

鹤壁市外国语中学 数学组 朱玉

【课例解析】

1、

教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受分组求和、倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。 2、

学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用

“三个设计课堂教学”模式，分为“预习、探究、巩固”三个教学环节，三个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的课堂探究题组、当堂检测题组又更进一步加强几种求和法的应用。

【目标定位】

1 、知识与技能目标

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。

2 、过程与方法目标

经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3 、情感与价值观目标

通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。

【教学重、难点】

本节课的教学重点为分组求和、倒序相加、裂项相消、错位相减求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。

【课堂教学设计】

一、知识回顾（展示自学成果）

1、教师：在推导等差数列前n项和公式Sn预设学生回答：倒序相加求和法。

n(a1an)时，用了怎样的数列求和的方法？

2【设计意图】：为倒序相加法提供推理基础，为后续的应用作铺垫。

a1(1qn)(q1)时，用了怎样的数列求和2、教师：在推导等比数列前n项和公式Sn1q的方法？

预设学生回答：能初步感知方法，无法叫出方法名称。

【设计意图】：为错位相减法的产生、发展、应用提供依据。

二、合作探究、交流展示（合作交流，讨论展示，互评质疑）

1、教师：谈谈你解自主探究1、2两小题的思路？

预设学生情况：自主探究第1题中能回答利用平方差公式并项，但可能会产生Sn（-3+5+7+199）的表达方式，挑动学生之间互评质疑，运算过程中采用Sn（-1+2+3++100）的方式更简单（数列问题中不急于运算，保留代数式的原始形式，以便于观察特征规律）；自主探究第2题学生能回答分组求和，能利用等差、等比数列求和公式算出答案。

【设计意图】：引导学生归纳领悟通过并项或分组将问题转化为直接利用等差或等比数列求和公式运算，体会等差、等比数列求和公式在本课例学习中的重要

性作用。

2、教师：观察自主探究第3题中的前后对称项，看看有什么关系？

预设学生情况：

sin1sin89sin2sin881，共44组还单出一项2222sin245o，可以算。挑动质疑，更好的处理方法为倒序相加运算。

【设计意图】：应用倒序相加并感受此种方法的优越性——简洁美、对称美。

3、教师：我们知道通分运算：1n11111，也就是说可以裂项为.nn1n1n(n1)n(n1)你能尝试写出一些裂项运算的等式吗？

预设学生情况：1111111()

，挑动质疑，修订为n(n2)nn2n(n2)2nn2一般化：1111()。

n(nk)knnk【设计意图】：体验通分和裂项这对运算的互逆关系以及相消过程的简洁美、对称美。

4、教师：等比数列的前n项和公式推导过程对解自主探究第5题有什么启示作用

？

q1，

Snb1c1b2c2b3c3bn1cn1bncn

qSn b1c2b2c3bn1cnbncn1

预设学生情况：等比数列求和公式推导中，由于b1b2bn，错位后“SnqSn”能抵消掉中间一系列项。差比数列中，由于b2b1b3b2bnbn1错位后“SnqSn”中间一系列项虽然没有被抵消掉，但出现的一系列同类两项合并后能直接用等比数列求和公式合并。

【设计意图】：体验类比方法在数学研究中的应用，把握从特殊到一般的认知规律。

[归纳领悟]：若anbncn，其中bn是公差为d的等差数列，cn是公比为q(q1)等比数列，可利用错位相减法求和。

三、引导、归纳、点拨（积极思考，规范操作、模型建构）

1、教师：想一想例2第一小问中结论的本质是什么？

预设学生情况：能感知任意两个自变量的和为1时，它们对应的函数值之和也为1，表达可能不太精准。

2、教师：观察第二小问中前后对称项的自变量之间的关系，看看应该怎么处理？

预设学生情况：能想到用倒序相加即可解决。

[归纳领悟]：观察到数列前后对称项的和为特殊值或代数式时，可以运用倒序相加法求和. 3、教师：想一想例3中数列的通项可以裂项吗？如果可以，用到的运算方法是什么？

预设学生情况：理化的方法。

1nn1(nn1)n1n，用到了分母有(nn1)(nn1)[归纳领悟]：此题的通项化简中，分母有理化也是一个裂项的过程，今天我们学到了11111()、n1n两类裂项。

n(nk)knnknn1四、当堂检测（课堂定时训练、展示成果）

1.等差数列{an}的前四项之和为26，最后四项之和为110，所有项之和为187，则该等差数列共有多少项？

2.求数列{}的前n项和Sn.

4n2113.求和：Snx2x23x3nxn(x0,x1

）1、教师：观察第2小题的通项，你想到了什么？该怎么完成？

预设学生情况：分母可以分解因式，然后可以利用裂项相消求和的方法解决。

【设计意图】：数列求和问题中，观察、分析通项的结构特征，合理选择恰当的求和方法是关键。

2、教师：第3小题中如果去掉x0,x1的限制，该怎么解决呢？

预设学生情况：分x0;x1;x0且x1三类情况讨论。

【设计意图】：体会分类讨论的数学思想在研究和解决实际问题中的应用。

五、归纳总结、整合升华（课堂小结，建构知识体系）

教师：本节课大家都学习、应用到了哪些数列求和方法？

预设学生情况：并项、分组、倒序相加、裂项相消、错位相减求和法

教师：通过本课的学习，在解决数列求和问题时有什么心得体会？

预设学生情况：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化与化归思想的运用；

六、课后巩固案（课外完成课后巩固案和课外探究案）

1.求和：Sn159131721……(1)n1(4n3)

2.求和：Sn(a1)(a2-2)（a33)(ann)

23.求数列an2n()n1的前n项和Sn.

34.若函数f(x)对任意xR都有f(x)f(1x)2。

（1）anf(0)f()f()f(是，请证明你的结论；

（2）求数列{1n2nn1)f(1)，数列{an}是等差数列吗？若n1}的的前n项和Tn。

anan1课外探究学习：

教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰．

（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？

（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？

说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。

【设计意图】：对所学内容进行巩固、强化。

【教后反思】

从课堂模式上讲，本节课采用“三个设计课堂教学”模式，力求坚持“先学后教、以学定教”，努力实现课堂由“教堂”到“学堂”的转变。课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，建构新知识的过程，课前“自学”环节有助于教师抓准学生认知水平和知识结构的最近发展区，不断发现问题﹑研究问题﹑解决问题，达到将学生的思路所隐藏的数学思想和方法挖掘出来，深化并完善它。学生的“合作交流、讨论质疑”方式

有利于培养学生的合作精神，数学表达能力，让学生获得对数学知识理解的同时也获得丰富的情感体验。教师的“导学”通过问题精导、设疑，让学生经历几种求和方法的建构过程,使学生的思维训练充分落实。“当堂检测”环节设计是对与本课例具有强关联性的题组进行巩固、强化，让学生实现双基过手扎实。

从学生获得的数学素养上讲，本节内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如：类比思想，归纳思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了学生的观察，发现，归纳，总结等学习过程的体验，强化了归纳思想的具体应用。突出体现了特殊到一般的思想，突出了通过观察特殊数列的各项关系或者通项特征，将基本运算、性质的研究推广到一般数列相应问题研究的思想，体现了数学知识的内在关联，培养学生用已知去研究未知的化归能力。