小结PPT配套优秀教学设计内容

3.4.1 基本不等式abab

2【学习目标】

1.会从几何图形中直观想象不等量关系，增强数学抽象、逻辑推理等数学核心素养的能力，提升数学思维水平.2.探索并了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【重点难点】

1探索基本不等式和基本不等式的几何意义；

2应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【学习过程】

一、情景引课

下面的图标是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ DGAHFEC 二、

合作探究

B

（一）课堂探究1观察图标，图标由四个直角三角形构成，若设AE=a,EB=b，那么

思考：1．正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿；四个直角三角形的面积和S’

=＿＿，根据面积的大小关系，我们得到不等式＿＿＿＿

2．假设直角三角形变为等腰直角三角形，即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时四个直角三角形面积之和与正方形ABCD面积大小关系如何？

用等式表示为：__________；

结论：一般地，对于任意实数a，b我们有

＿＿＿＿＿ 当且仅当＿＿＿＿，等号成立。

问题1你能从代数的角度来证明重要不等式吗？

特别地，如果

a0且b0

用

a和b代替不等式中的a，b上不等式可变形为 _____ _____这个不等式叫基本不等式（又叫均值不等式） （）

问题2如何证明均值不等式呢？

分析：要证abab（1） 即证ab__________（2）

2要证(2)，只要证ab____0 （3） 要证(3), 只要证( - ) 0 (4)

1 2

显然，（4）是成立的。当且仅当ab时，(4)中等号成立．

我们再从另外的角度观察它的几何意义

．

（二）课堂探究2 图3.4-1-2是以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′．

思考：1．圆的半径r=__________；

2. 连接AD、BD，则△ABD是直角三角形吗？△ACD与△BCD相似吗？ 用a、b表示半弦CD=_________； 3. 圆的半径r与半玹CD大小关系如何?什么时候才能相等？

用一个不等式表示：_________；

4．用一句话描述半径与半弦的不等关系：______________________________. 代数意义：我们称ab为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，因而，此2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等2不等式又可叙述为：______________________________．

从数列角度看如果把比中项，那么该定理可以叙述为：______________________________. 三、基本不等式（均值不等式）abab的应用

22例1．（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，

所用篱笆最短,最短的篱笆是多少？

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多

少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

四、课堂提升

11.若x0,求yx的最小值.

x12.若x0,求yx的最大值.

x123..若x0,求y3x的最小值.

x14.若x2,求yx的最小值.

x215.若x2,求yx的最小值.

x五、请谈谈你的收获

六、课后作业

习题3.4 --1 、2 、3、 4

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