阅读与思考 海伦和秦九韶教学设计案例

利用正弦定理、余弦定理解三角形

（第一课时）

一、教学目标：

（1）、知识与技能

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

（2）、过程与方法

通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正弦、余弦定理求解三角形问题。

（3）、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重点与难点

教学重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

教学难点：定理及有关性质的综合运用。

三、教具准备：多媒体投影仪四、教学过程：

（1）知识点梳理: 1.正弦定理

bc

a2R(其中R为ABC外接圆的半径)sinAsinBsinC

正弦定理的变形：

(1)a2RsinA

， b2RsinB

, c2RsinC

;

( a:b:csinA:sinB:sinC

;

2).

abc( sinA

, sinB

, sinC

;

3).2R2R2R

abbcca(4). , , ;

sinAsinBsinBsinCsinCsinA

2.余弦定理

2ab2c22bccosA

222bca2cacosB

c2a2b22abcosC

余弦定理的变形：

b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA;

cosB;

cosC.

2bc2ac2ab

3.三角形中的常见结论

(1)ABC(2)在三角形中大边对大角，大角对大边；

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

(4)有关三角形内角的三角函数式

sin(AB)sinC;

cos(AB)cosC;

ABC

tan(AB)tanC; sincos;22

cosABsinC;

22

（2）例题讲解

1.利用正弦定理解三角形

例1:△ 的内角

的对边分别为

已知

，

则

解析：由正弦定理得

,即

,可得

∴

或

，

,

∴

2.利用余弦定理解三角形

例2:△ 的内角

的对边分别为

已知

，

，则

解析：由余弦定理

得

,即

,解得

或

舍

。

（3）课堂测评

1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于(

) A．30°

C．60° 解析：选D.由B．30°或150°

D．60°或120°

asin A＝bsin B，得sin B＝bsin A，

a将a＝4，b＝43，A＝30°，

代入得sin B＝433sin 30°＝，

42又a

2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asin B，则角A等于(

) A．30° C．60° B．45°

D．75°

解析：选A.因为b＝2asin B，所以利用正弦定理的变式得

sin B＝2sin Asin B．因为sin B≠0，∠A为锐角，

1所以sin A＝，所以∠A＝30°. 23.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝13，则b＝(

) A．1 C．3 B．2 D.13 解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a2＋b2－2abcos 60°，因为a＝4b，所以113＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1，故选A. 24．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2bsin A. (1)求B的大小；

(2)若a＝33，c＝5，求b.

解：(1)由a＝2bsin A，根据正弦定理，

得sin A＝2sin Bsin A，

1因为sin A≠0，所以sin B＝. 2π因为△ABC为锐角三角形，所以B＝. 6(2)根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B

＝27＋25－2×33×5×所以b＝7. （4）课堂小结：

1.利用正弦定理解三角形；

2.利用余弦定理解三角形。

（5）布置作业

1.△ 的内角

的对边分别为 已知

（1）求

和

的值；

（2）求

的值.

3＝7. 2