1.3 二项式定理（通用）教案3

1.3 二

项

式

定

理

一、教学目标：

知识与技能：

能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

1

(一)温故知新

122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b；

12233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即011种，a4的系数是C40；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，C4恰有2个取b的情况有C42种，a2b2的系数是C42，恰有3个取b的情况有3种，ab3的系数是C43，有4都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，

C4132223344∴(ab)4C40a4C4abC4abC4abC4b．

(二) 探究新知

0n1nrnrrnn二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn0种，an的系数是Cn0；

11恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cnr种，anrbr的系数是Cnr，……，

有n都取b的情况有Cnn种，bn的系数是Cnn，

0n1nrnrrnn∴(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cnr(r0,1,n)叫二项式系数，

⑷Cnranrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnranrbr．

1rr⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxCnxxn

2

(三)应用巩固

例1．展开(1)4．

113()C4()2C4()3()41解一：

(1)41C41x1x1x1x1x1x4x641．

x2x3x413123x4C4xC4xC4x1解二：(1)4()4(x1)4()4

xxx11114641234．

xxxx例2．展开(2x解：(2x16)．

x161)3(2x1)6

xx112321[(2x)6C6(2x)5C6(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)1]

3x60121．

xx2x364x3192x2240x160例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

解：（1）T21C62(2a)4(3b)22160a4b2，

（2）T21C62(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(（2）求(x3x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

xr939rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3x

3

∴（1）当9r0,r6时展开式是常数项，即常数项为6T7C9332268；

32（2）(6项，

T5C34989x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第xx91294253，T6C93109x2378x3

x15例6．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

（2）求(x)9的展开式中x3的系数及二项式系数

3解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

1x∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)9的展开式的通项是Tr1C9rx9r()r(1)rC9rx92r，

∴92r3，r3，

∴x3的系数(1)3C9384，x3的二项式系数C9384．

（四）课堂练习：

61.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x361x1x123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(5x25). 2x56.化简：（1）(1x)(1x)；（2）(2x3x)(2x3x)4 57．xxlgx展开式中的第3项为106，求x．

4121212121 8．求x展开式的中间项

x2答案：1. T21C6(2a)62(3b)22160a4b22n

2.

4

2T21C6(3b)62(2a)24860a2b4 n2r1r33. Tr1C(x)(3)Cnx 2x2334.展开式的第4项的二项式系数C7335，第4项的系数C72280 rn3nr1rr5. （1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxx6. （1）(1x)5(1x)5220x10x2；

11114324（2）(2x23x2)(2x23x2)4192x x（2）(7. xxlgx展开式中的第3项为C52x32lgx106x32lgx105

52lg2x3lgx50lgx1,lgx2n510 x10,x210001nn8. x展开式的中间项为(1)C2n x五、小结

1.二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点

六、作业

1.课堂检测

七、课后记

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

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