阅读与思考 海伦和秦九韶ppt课件课堂实录

三角函数微专题教学设计

解三角形中的范围问题

三角函数是一种重要的初等函数，它在解决高中数学的问题上具有广泛的应用，是高中数学的主干知识之一，也是高考必考的重点内容。它对运算求解能力，分析转化能力和逻辑推理能力要求较高，可作为区分能力，考查能力的重要手段。因此三角函数的复习要引起我们足够的重视，

二、本专题可测的知识点、能力点、思想点

1、知识点：本专题的核心知识是任意角三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正、余弦定理解三角形。

2、能力点：运算求解能力、逻辑推理能力、分析判断能力。

3、思想点：数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想。

三、专题设计

1、教学内容分析

“解三角形”是高中数学的基本内容，有较强的应用性，也是三角函数和平面向量在解三角形中的应用.其本身不仅与日常生活问题紧密联系，也是高考一个重要且必考的考点。在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。

例如，2016年全国卷I第17题考查了解三角形的求周长问题，2016年北京卷第15题、山东卷第16题都考查到解三角形中的最值问题，2015年湖南卷第17题也考查了解三角形中角的范围问题等。可见，解三角形中的范围问题是高考的一个热门考点。

根据以上分析，本节课教学重点确定为：会用正弦定理、余弦定理、基本不等式解决解三角形中的范围问题.

2、教学目标分析

知识目标: 掌握正弦定理、余弦定理及基本不等式，会用它们求解解三角形中的范围问题. 能力与方法: 通过问题的辨析与探究，加强学生的自主学习能力，培养学生的逻辑思维能力和运算求解能力，提高学生分析问题解决问题的能力 . 情感、态度与价值观：

通过引导学生观察分析，合作交流，让学生经历知识的形成过程，体会解题过程中转化与化归等数学思想，增强学生学习的成就感，增进同学间的友谊。

3、学情分析

本授课对象为高三学生，学生已经复习了三角函数基本知识，对正弦定理、余弦定理、面积公式以及基本不等式等有了一定的了解。但是如何正确选用正弦定理、余弦定理及其变式来解三角形还存在障碍，尤其是正余弦定理的综合运用能力还存在欠缺，不少学生对解三角形中的一类求最值或范围问题产生畏惧心理。

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：如何正确选用正、余弦定理解决解三角1

形中的范围问题.

4、教法学法

本节课的指导思想是:以学生为主体，教师为主导，通过学案的形式展开教学.知识梳理、诊断自测等环节巩固学生基础，能激发学生的学习兴趣.考点突破让学生自己动手探索，完善知识的系统性,加深对易错点内容的掌握，提升知识的综合运用能力. 这节课主要采用构建自主学习的教学模式，变老师“讲-练-讲”为学生“练-讲-练”，变“知识-方法-题目”为“问题-联想-提高”.每8人一组，将学生分成8组，把课堂还给学生，让学生自己发现问题，解决问题,培养学生自己“找路”的能力, 形成在参与中复习，在复习中参与的氛围. 整个环节由师生互动、生生互动完成，旨在培养学生与人合作的精神，同时让学生自我发现问题比老师主动强调要好，符合新课标的要求，突出了学生学习的主体地位.当学生遇到困难的时候,老师适当点拨并补充.注意要善于把自己对于问题的理解转化为学生的理解,而不是直接强加给学生.要尽量借助学生的嘴来说，借助学生的脑来想，让学生在主动参与学习的过程中真正体会到学习的快乐.

5、教学过程设计

基本流程：

温故

知

新

定理

内容

知识梳理，巩固基础一题多解，揭示规律变式再练，深化理解训练反馈，巩固提高课堂小结，一 :知识梳理,温故知新

正弦定理

余弦定理[来源:Z#xx#k.Com]a = = sinA(其中R是△ABC外接圆半径) (1)a＝2Rsin A，b＝

，c＝

；

abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；

2R2R2R

a2＝_______________；b2＝

_____________ ；c2＝

______________ (3)a∶b∶c＝sin A∶

∶sin C；

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，

asin C＝csin A

2．三角形常用面积公式

1(1)S＝a·h(h表示边a上的高)；

2aa11(2)S＝absin C＝__________＝acsin B；

221abc(3)S＝r(a＋b＋c) ＝ (R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径)． 24R3．基本不等式

a＋b(1)若a，b∈R＋，则≥ab，当且仅当

时取“＝”．

2(2)

若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当

时取“＝”．

变形公式

cos A＝

____________；

cos B＝_____________；

cos C=______________

[来科2

a2＋b2a＋b21x＋≥2

(3)

≥2≥ab

a2＋b2≥2|ab|.

x2(4)

如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当

时，x＋y有最小值2p. S2(5)

如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当

时，xy有最大值. 4【设计意图】通过知识梳理,使学生明确本节所复习的内容,熟练掌握本节相关知识点. 【处理过程】学生提前完成学案,学生自己独立完成知识梳理,请第一小组一名学生归纳答案.

二:一题多解，巩固基础

π【例1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b ，c . A =

，a = 3，求b + c的3最大值. 【设计意图】本题考查了正余弦定理解三角形最值问题，以问题形式引入课题，勾起学生的求知欲。例题强调一题多解，发散思维，让学生体会正弦定理、余弦定理在解三角形最值中的应用。

【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派两名代表展示答案, 其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充.例题处理完以后,引导学生反思总结: 解法一是利用余弦定理得到两边关系，再结合基本不等式求出b + c的最大值；解法二是利用正弦定理把边转化成了角，再把B与C其中一个用另一个表示，减少变量，进而借助三角函数值域求出b + c的最大值.

三:变式再练，揭示规律

π【变式1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c . A =

，a = 3，求b + c的3范围. π【变式2】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c . A =

，a = 3，求b + 3c的范围.

【变式1】解答过程：

【设计意图】变式题的设计,通过比较，稍加变动条件，层层深入，激发学生的求知欲望，让学生能更好的解决此类题型，明白如何适当的选择正弦定理、余弦定理解决解三角形中的范围问题。从而突出重点，化解难点。

【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派代表展示答案, 其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充. 对于变式1，学生采用余弦定理和基本不等式，只能确定b + c右侧的范围，对于左侧的范围，多数同学无从下手。也有部分同学采用两边之和大于第三边，求出了左侧的范围。由此我提出了一个问题：如果将问题改为“求b －

c的范围”那怎么办？学生经过激烈的探讨研究，发现此时只能用正弦定理来解决。可见：正弦定理解决解三角形中的范围问题是通法。

有了上面的基础，学生很快学会了用正弦定理来解决变式2，不过，仍然有一部分学生没有注意到角的范围，从而导致出错。

题目处理完之后，引导学生归纳总结：

【归纳总结】1、对于解三角形的最值问题，有两种方法，一种是余弦定理和基本不等式，另一种是正弦定理和三角函数。但是相比较而言，余弦定理和基本不等式更简单直接。

2、对于解三角形的范围问题，正弦定理和三角函数更为通用，多采用这种方法来解决。解题中，一定要注意角的范围。

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四:训练反馈，深化理解

【设计意图】检验所学习的知识，深化理解，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力. 【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派代表展示答案,其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充

.

五:课堂小结，巩固提高

【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思,使学生更好的掌握主干知识, 再次巩固薄弱的知识环节,提高学习效率. 【处理过程】让学生整理思维,自我总结,请学生代表对本节复习课的内容进行小结(或谈心得),其他同学可以补充,老师给予充分的肯定和鼓励.

6、训练题的选择及意图

在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。但是难度不大，属于中档题，是必得满分的考题，在训练题的选择上注重：

1.基础题型：强化基础，抓纲务本，落实通法

2.难点题型：立足教材，突出方法，分级达标

3.易错题型：变式呈现，举一反三，强化提升。

以下训练题仅供参考．

7、教学反思

通过这节课的教学,本人得到了以下几点感想: 一、教学要有明确的教学目标，要能突出重点、化解难点；

二、要根据具体内容，选择恰当的教学方法.要切实重视教材、重视基础知识，在教学过程中要适当渗透数学思想方法；

三、在课堂上要关注每一个学生，及时鼓励.要充分发挥学生的主体作用，调动所有学生的学习积极性，让学生自己去归纳总结. 只有当你真正主动地，自愿地，开心地去学习，去体验，你才会感到快乐并有所收获.

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