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基本不等式总复习

[知识能否忆起] 一、基本不等式ab≤a＋b2

1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

二、几个重要的不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；baa＋b≥2(a，b同号)．

a＋b22ab≤2a＋b2(a，b∈R)；22≤a＋b2(a，b∈R)．

三、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

调和平均数

≤

几何平均数

≤

算术平均数

≤

平方平均数

2≤aba＋ba2＋b211≤2≤2

a＋b四、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) 2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p4.(简记：和定积最大) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为(

) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B．(0，＋∞) C．[2，＋∞)

D．(2，＋∞) 2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(

) A．18

B．36

C．81

D．243 3．(教材习题改编)已知0

) A.13

B.12 C.34

D.23

4．若x>1，则x＋4x－1的最小值为________．

5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝25x＋y的最小值为________．

1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．

3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b>0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

利用基本不等式求最值

典题导入

[例1]

(1)已知x＜0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为________．

(2)(·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) A.24285

B.5

C．5

D．6

本例(2)条件不变，求xy的最小值．

由题悟法

用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．

以题试法

1．(1)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．

(2)(·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．

(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

利用基本不等式解决恒成立问题

►(·山东)若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．

【训练3】 (·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误

【问题诊断】

利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】

尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等. 【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求12a＋b的最小值．

——————[易错提醒]——————————————————————————

1.解答本题易两次利用基本不等式，

但它们成立的条件不同，这显然是不能同时成立的，故不正确. 2.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. 3.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

【试一试】 (·四川)设a＞b＞0，则a2＋1＋1abaa－b的最小值是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

基本不等式的实际应用

典题导入

[例2]

(·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

由题悟法

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 以题试法

2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

1．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有

(

) A．最大值为0

B．最小值为0 C．最大值为－4

D．最小值为－4 222．(·太原模拟)设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：a＋b22≤a＋b2，则p是q成立的(

) A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是(

) A．23＋2

B．23－2 4．(·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

) A．a

B．v＝ab

C.ab

D．v＝a＋b2

5．已知正项等比数列{a＝4a14n}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman1，则m＋n的最小值为(

) A.32

B.53

C.256

D．不存在

6．设a>0，b>0，且不等式11ka＋b＋a＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于(

) A．0

B．4 C．－4

D．－2 7．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

8．已知函数f(x)＝x＋px－1(p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．

9．(·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

10．已知x＞0，a为大于2x的常数，

(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；(2)求y＝1a－2x－x的最小值．

11．正数x，y满足1x＋9y＝1. (1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．

12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．

(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；

(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？

1．(·浙江联考)已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为(

) A．1

B．2 C．3

D．4 2．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．

3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

1．函数y＝a1－x(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则11m＋n的最小值为________．

2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________．

3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30. (1)求xy的取值范围；

(2)求x＋y的取值范围．