1.3 二项式定理（通用）PPT及课堂实录内容

1．3．2二项式定理

兰坪一中 李秀全

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：1．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．

教学难点：2．能解决与二项式定理有关的简单问题．

授课类型：习题课课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabnrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

求14x－的展开式．

2x

[思路点拨]

解答本题先将x看成a，－看成b，利2x用二项式定理展开，也可以先将1x－124化简后再展开．

x

31x)4－C1(x)·42x

＋C24(116x2. 方法二：方法一：x－1240＝C4(xx)2123·2x－C413134142x·2x＋C42x＝x－2x＋2－2x＋x－12142x－144＝＝(2x－1)

22x16xx1＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 311＝x2－2x＋2－2x＋16x2.

[规律方法]

熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．

变式训练:

351．(1)求2x－2x2的展开式；

(2)求314x＋的展开式．

x3530514－2(1)方法一：2x－2x2＝C5(2x)＋C5(2x)·2x解析：

3＋C25(2x)－3233343532452＋C5(2x)－2＋C5(2x)－2＋C5－2

2x2x2x2x2180135405243＝32x－120x＋x－x4＋8x7－32x10. 5(2)方法一：314x＋

x113221234x)·＋C4(3x)＋C4(3x)·＋C4xxx3＝(3x)4＋C14(314

x121＝81x＋108x＋54＋x＋x2. 2题型二:求二项式展开式的系数

1．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是(

) A．－27C610

C．－9C610

446解析：

x6的系数为C4·(－3)＝9·C＝9·C101010. B．27C610

D．9C610

183.x＋2x的展开式中x2的系数为________．



解析：

利用二项展开式的通项公式求解．

r∵Tr＋1＝C8x8－rr1C88－2rr＝r··.令8－2r＝2，得r＝3，

2x2x3C8∴x2的系数为23＝7. 题型三:求二项展开式的特定项

设(x－2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项．

(x－2)n展开式的第二项与第四项分别为

n－1T2＝C1·(－2)＝－2·nxn－1，

nxn－3n－3T4＝C3·(－2)3＝－22C3. nxnx2分

4分

6分

－2n1依题意得＝2，

－22C3n

[规律方法]

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．

五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

ｎ (a+b) =

ｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二项式定理是指(ab)nn1n22nrranC1bC2bCrb

nananarn这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开Cnbn

式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公－式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn1，同时1lim(1)n=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的nn地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立θ的y=lnx的导数公式y=11与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由xxnf(x)f(x0)0y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－1!n!(n1)f[x0(xx0)]x0)n+(xx0)n1(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广(n1)!泛深入到高等数学的各个分支中.

怎样使二项式定理的教学生动有趣

正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.