小结教案设计（一等奖）

数系的扩充与复数的引入

一

教学目标

1．理解复数的基本基本概念，复数相等的充要条件。

2．了解复数的代数形式及其几何意义，

3．掌握复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减、运算的几何意义。

4．会用分类讨论的思想求出相关的复数对应的实参数值。能熟练运用数形结合的思想解决与复数的模有关的问题。

二

学考情分析

高考对于复数的考察较简单，一般只有一个选填题，以代数形式运算为主。另外还有时考察复数的有关概念及复数的几何意义等。学生的计算能力有待提高，在复数几何意义的理解上还存在困难。

三

教学重点：复数的有关概念及运算

教学难点：复数的几何意义

四

教学过程

（一）

要点归纳

1.复数的概念

(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.

2.复数集

3.复数的四则运算

若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)

(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；

(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；

z1a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i(4)除法：＝

22z2a2＋b2a1a2＋b1b2a2b1－a1b2＝2＋22i(z2≠0)；

a2＋b2a2＋b22(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；

(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；

13(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 224.共轭复数与复数的模

(1)若z＝a＋bi，则z＝a－bi，z＋z为实数，z－z为纯虚数(b≠0). (2)复数z＝a＋bi的模|z|＝且z·z＝|z|2＝a2＋b2. (2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出a2＋b2，

→发的向量OZ. 5.复数的几何形式

→(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量OZ表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).

6.复数加、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

→→→→若复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四→边形的对角线OZ所对应的复数. (2)复数减法的几何意义

→→复数z1－z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数. （二）

题型研究

题型一

分类讨论思想的应用

当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论.

a2－7a＋6例1

已知复数z＝2＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为a－1(1)实数；(2)虚数；

(3)纯虚数.

跟踪演练1

当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.

(1)为实数；

(2)为纯虚数；

(3)对应的点在第一象限内；

(4)复数z对应的点在直线x－y＝0.

题型二

数形结合思想的应用

数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.涉及的主要问题有复数

在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.

例2

已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.

跟踪演练2

已知复数z1＝i(1－i)3.

(1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

三

课堂小结

1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.

2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式. 3.对复数几何意义的考查.一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.

四作业: P61

A

3、4、5

B

1