3.1.2 复数的几何意义教学实录

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

复数的减法运算及几何意义

教学目标

一、教学知识点

1.理解并掌握复数的代数形式的减法运算法则，共轭复数的减法运算的性质，复数减法的几何意义

2.掌握复数的减法与模的不等式

｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1-z2｜≤｜z1｜+｜z2｜

二、能力训练要求

1.能用复数的代数形式的减法运算法则进行有关运算，并能利用减法的运算法则的几何意义解决一些实际问题

2.会用复数模的性质｜｜z1｜-｜z2｜｜｜z1-z2｜｜z1｜+｜z2｜求模的最大值和最小值

三、德育渗透目标

1.培养学生数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想和方法，培养学生分析问题和解决问题的能力

2.培养学生辩证唯物主义观点（实与虚、分与合、动与静）

3.培养学生的探索和创新精神，养成善于思考的良好习惯

教学重点

复数的减法运算法则和减法的几何意义是本节课的教学重点，特别是它的几何意义及运用. 教学难点

复数的减法运算的几何意义的理解和应用是教学难点. 教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生初步掌握复数的加法运算法则和几何意义的基础上进行逆向思维的训练和变式训练，通过平面向量的减法运算类比复数的减法运算，使学生逐步建构减法运算法则和几何意义，这样就突破了教学难点. 教具准备

实物投影仪、幻灯机、幻灯片等. 教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上节课我们学习了复数加法运算法则及几何意义，今天我们研究的课题是复数减法运算法则及几何意义

(板书课题：复数减法运算及几何意义

Ⅱ.讲授新课

（一）概念建构

［师］首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

(板书

1.复数减法法则

（1）规定：复数减法是加法逆运算；

（2）法则：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a、b、c、d∈

如何推导这个法则呢？

［生］把（a+bi）-(c+di)看成(a+bi)+(-1)(c+d

(学生口述，教师板书

(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-1)(c+di)=(a+bi)+(-c-di)=(a-c)+(b-d

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

［师］说一下这样推导的想法和依据是什么？

［生］把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则

［师］转化的想法很好.但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题

［生］我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导

(学生口述，教师板书

推导：设(a+bi)-(c+di)=x+yi(x、y∈R),即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差.由规定，得(x+yi)+(c+di)=a+bi，依据加法法则，得(x+c)+(y+d)i=a+bi,依据复数相等定义，得

xca,xac,即

ybd.ybd.故(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d

［师］这样推导每一步都有合理依据

我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？

［生］仍是复数

［师］两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？

［生］不会

［师］这说明什么

［生］两个复数的差是唯一确定的复数

［师］复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d

［师］我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？

图4-8 （板书：2.复数减法的几何意义）

［生］用向量表示两个做减法的复数(学生口述，教师板书)

设z=a+bi(a、b∈R),z1=c+di(c、d∈R),对应向量分别为oz、oz1，如图4-8所示［师］怎样用向量表示z-z1的差

(学生困惑，教师启发

［师］还记得刚才推导复数减法法则时我们是如何转化的吗？

（学生活跃起来，议论纷纷）

图4-9 ［生］由于复数减法是加法的逆运算，设z=(a-c)+(b-d)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法的

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

几何意义，以oz为一条对角线，oz1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量oz2就与复数z-z1的差(a-c)+(b-d)i对应,如图4-

［师］很好.在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量只有向量oz2吗？

［生］还有Z1Z

［师］为什么？

［生］因为OZ2［师］向量［生］向量Z1Z所以向量Z1Z也与z-z1的差对应

Z1Z起点、终点分别是什么？Z1Z是以Z1为起点，Z为终点的向量［师］点Z1、Z对应的复数分别是什么？

［生］点Z1对应的复数是减数z1,Z对应的复数是被减数

［师］谁能概括一下复数减法的几何意义？

（学生议论片刻）

［生］两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应

(教师板书此段话并配图示

［师］你能联想到什么？

（学生讨论）

［生］这与高一时我们学***面向量是完全一致的，由图形（平行四边形）可知，

｜OZ｜+｜Z1Z2｜=2(｜OZ1｜+｜OZ2｜）,即有｜z+z｜+｜z-z｜

2222122122=2(｜z1｜2+｜z2｜2

［师］你们能用代数方法证明吗？

［生］（板演）设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)，

｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2

=｜(a+c)+(b+d)i｜2+｜(a-c)+(b-d)i｜2

=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2

=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2+a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=2(a2+b2+c2+d2=2(｜z1｜2+｜z2｜2

(二)例题分析（课本例题及习题）

［例1］设z1=-2+5i,z2=3+2i,分别用代数及几何方法计算z1-z2(学生口述，教师板书

图4-10

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

解：z1-z2

=(-2+5i)-(32i)=(-2+5i)-(3-2i)=(-2-3)+［5-(-2)］i=-［生］在直角坐标系中点Z1(-2,5)，连结OZ1，向量

OZ1与复数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2(3,-2),向量OZ2与复数z2对应，连结z2Z1，向量z2z1与z1-z2的差对应

［师］根据复数减法的几何意义，连接复数z1、z2对应向量终点Z1、z2，但一定要注意箭头指向被减数对应点Z1，否则，方向不同将表示不同的向量，对应复数也就不同向量z2z1对应的复数与其终点对应复数是不是同一个复数呢？

图4-11 ［生］不是，向量z2z1对应复数是z1-z2

=-5+7i，而向量z2z1z1=-2+5i.

［师］哪个向量终点与复数z1-z2对应呢？

［生］过O点作oz31的终点Z1对应复数是z2Z1，向量oz3的终点Z3对应向量为z1-z2=-

［师］通过这道题我们知道向量z2z1与向量oz3是相等向量，对应同一个复数，但向量z2z1在复数减法的几何运算中作图比较方便，而向量oz3终点Z3直接与复数z1-z2对应.

［例2］根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式(学生思考片刻口述，教师板书

解：设复平面内的任意两点Z1、Z2分别表示复数z1、z2,那么z1z2就是复数z2-z1对应的向量.点Z1、Z2之间的距离就是向z1z2的模，即复数z2-z1的模.如果用d表示点Z1、Z2之间的距离，那么d=｜z2-z1｜

［师］很好，这就是复平面内两点的距离公式.这个公式与我们学过的两点间距离公式是否一致？

［生］我认为一致

设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，则

｜z2-z1｜=｜(x2+y2i)-(x1+y1i)｜

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

=｜(x2-x1)+(y2-y1)i｜

22=(x2x1)(y2y1)［师］这就是说关于距离问题可以用复数表示

［例3］在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么

(1)｜z-1-i｜=｜z+2+i｜

［师］我们应该如何认识这个方程？

（学生困惑，教师引导）

［师］我们先看方程左式、右式分别表示什么？

［生］方程左式可以看成｜z-(1+i)｜，是复数z与复数1+i差的模

［师］有什么几何意义吗？

［生］是动点Z与定点（1，1）间的距离

(学生活跃起来，纷纷举手回答

［生］方程右式也可以写成｜z-(-2-i)｜,是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2,-1）间距离.这个方程表示的是到两点(1,1),(-2,-1)距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线

(2)｜z+i｜+｜z-i｜

(学生议论后，举手回答

［生］方程可以写成｜z-(-i)｜+｜z-i｜=4,表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点的轨迹

［师］这个动点的轨迹是什么曲线呢？

（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）

［生］是椭圆吧

［师］似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义

(学生在教师的提示下一起回答

［生］在平面内，与两个定点F1、F2距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.

［师］满足这个方程的动点的轨迹是不是椭圆呢？

［生］是.因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1）、（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点的轨迹是椭圆

(3)｜z+2｜-｜z-2｜

(学生议论后，举手回答

［生］这个方程可以写成｜z-(-2)｜-｜z-2｜=1,所以表示到两个定点(-2,0)、(2,0)距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线

［师］说的再准确些

［生］是双曲线右支

［师］很好.由z1-z2的几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=｜z1-z2｜,由此得到线段垂直平分线、椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简洁，且反映曲线的本质特征

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

图4-12 ［例4］设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数P=a+bi对应.求：

（1）复平面内圆的方程；

（学生口述，教师板书）

解：设定点P为圆心，r为半径，

由圆的定义，得

复平面内圆的方程｜z-P｜

［师］这个圆的方程与我们以前所学实数表示的圆的方程是否一致？

［生］一致.由于｜z-P｜=｜(x+yi)-(a+bi)｜=｜(x-a)+(y-b)i｜

22=(xa)(yb)

又｜z-P｜

则(x-a)2+(y-b)2=r2

［师］如果P在原点，复平面内圆的方程是什么？

［生］｜z｜

(2)复平面内满足不等式｜z-P｜＜r(r＞的点Z的集合是什么图形？

（学生口述，教师板书）

解：复平面内满足不等式｜z-P｜＜r(r＞的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）

［师］利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程、不等式等问题

［例5］集合M=｛z｜｜z-1｜≤1,z∈C｝

N=｛z｜｜z-1-i｜=｜z-2｜,z∈C｝

集合P=M

(1)指出集合P在复平面上所对应点集表示的图形；

(2)求P中复数模的最大和最小值

图4-13 ［生］解：（1）由｜z-1｜≤1，可知集合M在复平面内所对应的点集是以点E（1，0）为圆心，1为半径的圆的内部和边界；由｜z-1-i｜=｜z-2｜，可知集合N是以点（1，1）和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图4-13所示

(2)圆的方程为x2+y2-2x=0,直线l的方程为y=x-

x2y22x0,解方程组yx1.得A(

222222,),B(,)2222

∴｜OA｜=22,｜OB｜=22

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

点O到直线l的距离为2,且过O向l引垂线垂足在线段BE上，2222,最小值为

故集合P中复数模最大值为222

解题回顾：（1）本题N中的两个定点可以不在圆上

(2)过O向l作垂线，若垂足在线段BE之外，此时，｜OB｜为最小值

Ⅲ.课堂练习

(一)课本Ｐ152练习

(二)补充练习

在复平面上复数z1、z2对应的点分别为A、B,|z1-z2|=|z1+z2|,线段AB的中点M对应的复数是3+4i,求|z1|2+|z2|2的值

解:设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2∈

∴由M是AB中点得x1+x2=b,且y1+y2

∵|z1-z2|=|z1+z2|,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1+x2)2+(y1+y2)2

∴x1x2+y1y2

∴|z1|2+|z2|2=x12+x22+y12+y22

=(x1+x2)2+(y1+y2)2

Ⅳ.课时小结

［师］本节课我们学习了复数的减法法则及几何意义，你总结一下具体内容

图4-14 ［生］1.如果复数z1、z2分别对应于向量op1、op2,那么，向量应的向量

p2p1就是z1-z2的差所对2.若复数z1、z2在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2,则｜z1z2｜=｜z1-z2｜3.由复数的几何意义，我们可以将一些常见轨迹表述成复数形式：

（1）以复数P对应的点为圆心，r为半径的圆的复数方程是｜z-P｜

(2)设Z1、Z2是复平面内的两点，则线段Z1Z2的垂直平分线的方程是｜z-z1｜=｜z-z2｜

(3)以复数z1、z2对应的两点F1、F2为焦点，长轴长为2a(2a＞｜z1-z2｜)的椭圆方程是｜z-z1｜+｜z-z2｜=2a；

(4)以复数z1、z2对应的两点F1、F2为焦点，实轴长为2a(2a＜｜z1-z2｜)的双曲线方程是｜｜z-z1｜-｜z-z2｜｜=2a

4.复数模的性质：｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1-z2｜≤｜z1｜+｜z2｜

5.复数的共轭性质：z1z2z1z2

6.｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2=2(｜z1｜2+｜z2｜2). Ⅴ.课后作业

数系的扩充与复数的引入

备课人：刘老师

课本Ｐ154习题4.2减法

板书设计

§4.2.2复数的减法运算及几何意义

一、法则及几何意义

1.法则

(a+bi)-(c+d

2.几何意义

｜z1z2｜=｜z1-z2｜

3.|｜z1｜-｜z2｜|≤｜z1-z2｜≤｜z1｜+｜z2｜4. z1z2z1z2

5.｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2=2(｜z1｜2+｜z2｜2二、几种常见曲线的复数形式方程

1.中垂线

｜z-z1｜=｜z-z2｜

2.圆｜z-z0｜=P

3.椭圆｜z-z1｜+｜z-z2｜=2a

4.双曲线｜｜z-z1｜-｜z-z2｜｜=2a

例题分析

例1 例2 例3