阅读与思考 错在哪儿精品学案

线性规划练习

1. “截距”型考题

在线性约束条件下，求形如zaxby(a,bR)的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. y21.【2012年高考·广东卷

理5】已知变量x,y满足约束条件xy4，则z3xy的最大值为(

) xy1

(A)12

(B)11

(C)

(D)

x-y102. (2012年高考·辽宁卷

理8)设变量x,y满足0x+y20，则2x+3y的最大值为

0y15A．20

B．35

C．45

D．55 xy103.(2012年高考·全国大纲卷

理13) 若x,y满足约束条件xy30，则z3xy的最小值x3y30为

。

lnx,x04.【2012年高考·陕西卷

理14】

设函数f(x)，D是由x轴和曲线yf(x)及该曲2x1,x0线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y在D上的最大值为

．

5.【2012年高考·江西卷

理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜

韭菜

4吨

6吨

1.2万元

0.9万元

0.55万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入

总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（

）

A．50，0

B．30，20

C．20，30

D．0，50

6. (2012年高考·四川卷

理9 )

某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（

）

A、1800元

B、2400元

C、2800元

D、3100元

x07. (2012年高考·安徽卷

理11) 若x,y满足约束条件：x2y3；则xy的取值范围为_____.

2xy3第

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2xy48．(2012年高考·山东卷

理5)的约束条件，则目标函数z=3x－y的取值范围是

4xy1

A．

[3，6] 2B．[33，－1]

C．[－1，6]

D．[－6，]

22x,y09．(2012年高考·新课标卷

理14) 设x,y满足约束条件：则zxy2的取值范围为

. xy1；xy32 . “距离”型考题

x110.【2010年高考·福建卷

理8】

设不等式组x-2y+30所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关yx于直线3x4y90对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B, |AB|的最小值等于(

) A.2812

B.4

C.

D.2 5511.( 2012年高考·北京卷

理2) 设不等式组则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

0x2,，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，0y224

B

C

D

24463. “斜率”型考题

A 12.【2008年高考·福建卷

理8】

若实数x、y满足A.(0,1)

B.0,1

xy10y,则的取值范围是

（

）

xx0

D.1,

C.(1,+) clnb≥aclnc，则b，c满足：5c3a≤b≤4ca，13.（2012年高考·江苏卷

14）已知正数a，值范围是

．

b的取a4. “平面区域的面积”型考题

14.【2012年高考·重庆卷

理10】设平面点集1A(x,y)(yx)(y)0,B(x,y)(x1)2(y1)21，则AB所表示的平面图形的面积为

xA 334

B 

C 

D

457215.（2007年高考·江苏卷

理10）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A{(x,y)|xy1,

且x0,y0}，则平面区域B{(xy,xy)|(x,y)A}的面积为

（

）

A．2

B．1

C．11

D．

24第

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x016.（2008年高考·安徽卷

理15）

若A为不等式组y0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到yx21时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为

.

x04ykx17.（2009年高考·安徽卷

理7）

若不等式组x3y4所表示的平面区域被直线分为33xy4面积相等的两部分，则k的值是（A）

7343

（B）

（C）

（D）

3734高x0,18.（2008年高考·浙江卷

理17）若a0,b0，且当y0,时，恒有axby1，则以a,b为坐标xy1点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于__________.

5. “求约束条件中的参数”型考题

规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案. xy1019.（2009年高考·福建卷

文9）在平面直角坐标系中，若不等式组x10（为常数）所表示的axy10平面区域内的面积等于2，则a的值为

A. －5

B. 1

C. 2

D. 3

xy30x20.【2012年高考·福建卷

理9】若直线y2上存在点(x,y)满足约束条件x2y30，则实数m的xm最大值为（

）

A．

13

B．1

C．

D．2 22x2y19≥0，21.（2008年高考·山东卷

理12）设二元一次不等式组xy8≥0，所表示的平面区域为M，使函数2xy14≤0yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（

）

A．[1，3]

B．[2，10]

C．[2，9]

D．[10，9]

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xy110x22.（2010年高考·北京卷

理7）设不等式组

3xy30表示的平面区域为D，若指数函数y=a的5x3y90

图像上存在区域D上的点，则a

的取值范围是

A

(1，3]

B

[2，3]

C

(1，2]

D

[ 3，

] x2y5023.（2007年高考·浙江卷

理17）设m为实数，若{(x,y)3x0}{(x,y)|x2y225}，则mmxy0的取值范围是___________.

x3y30,24.（2010年高考·浙江卷

理7）

若实数x，y满足不等式组2xy30,且xy的最大值为9，则实xmy10,数m（

）

A 2

B 1

C 1

D 2 6. “求目标函数中的参数”型考题

规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究. xy125.（2009年高考·陕西卷

理11）若x，y满足约束条件xy1，目标函数zax2y仅在点（1，0）2xy2处取得最小值，则a的取值范围是

（

）

A．（1，2）

B．（4，2）

C．(4,0]

D．

(2,4)

yx26.（2011年高考·湖南卷

理7）设m>1，在约束条件ymx下，目标函数z=x+my的最大值小于2，

xy1则m的取值范围为

A．(1,12)

B．(12,)

C．（1，3）

D．(3,)

7. 其它型考题

3xy6027. （2009年高考·山东卷

理12）

设x，y满足约束条件xy20

，若目标函数x0,y023zaxby(a0,b0)

的值是最大值为12，则的最小值为（

）

ab25811A.

B.

C.

D.

4 633第

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2xy2028. （2010年高考·安徽卷

理13）设x,y满足约束条件8xy40，若目标函数x0 ,

y0zabxya0,b0

的最大值为8，则ab的最小值为________.

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线性规划问题

答案解析

1. “截距”型考题

在线性约束条件下，求形如zaxby(a,bR)的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1、选B

【解析】约束条件对应ABC内的区域(含边界)，其中A(2,2),B(3,2),C(,)

画出可行域，结合图形和z的几何意义易得z3xy[8,11]

2、选D；

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点A5,15时，2x+3y的最大值为55，故选D.

3、答案：1

【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1.

]53224、答案2；

【解析】当x > 0时，fx'1，f'11，

x∴曲线在点(1,0)处的切线为yx1，则根据题意可画出可行域D如右图：

目标函数y11xz，

∴当x0，y1时，z取得最大值2 225、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.

设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元，

则目标函数为

xy50,1.2x0.9y54,z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y.

线性约束条件为

x0,y0.

xy50,4x3y180,即作出不等式组表示的可行域,

x0,y0.

易求得点A0,50,B30,20, C0,45. 平移直线zx0.9y，可知当直线zx0.9y，经过点B30,20，

即x30,y20时

z取得最大值，且zmax48（万元）. 故选B. 点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：

(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？

(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数; 第

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(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；

(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．

6、答案C 【解析]】

设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得

Z=300X+400Y，X2Y122XY12且，画可行域如图所示，

X0Y0

3z目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=x

4400这是随Z变化的一族平行直线，解方程组2xy12x4

，

，即A（4,4）

x2y12y4Zmax120016002800

7、答案[3,0]；

【解析】约束条件对应ABC内的区域(含边界)，其中A(0,3),B(0,),C(1,1)，画出可行域，结合图形和t的几何意义易得txy[3,0]

8、选A；

【解析】

作出可行域和直线l：3xy0，将直线l平移至点(2,0)处有最大值，点(,3)处有最小值，即32123z6.

∴应选A. 29、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形OABC内及边界，其中O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)，则zx2y[3,3]

2 . “距离”型考题

10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。

【解析】由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x4y90的距离最小，故|AB|的最小值为2|31419|4，所以选B。

5评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点. 第

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0x211、选D；【解析】题目中表示的区域为正方形，如图所示，而动点M可

0y2以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，

1222244因此

P，故选D. 224

3. “斜率”型考题

12、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，y表示平面区域内的动点(x,y)与原点xyO(0,0)之间连线的斜率，由图易知，y1,，选C.

xyb(a,bR)的目标函数的xa评注：在线性约束条件下，对于形如z取值问题，通常转化为求点(x,y)、(a,b)之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定-1O1xy的最小值无限趋近于1. x图 3ab35ccabclnb≥aclnc可化为：cc4.

13、答案e，【解析】条件5c3a≤b≤4ca， 7；abecc3xy5xy4aby

设=x，y=，则题目转化为：已知x，求的取值范围. ，y满足xccxyex>0，y>0作出（x，求出y=ex的切线的斜，y）所在平面区域（如图）率e，设过切点Px0，y0的切线为y=exmm0，

则y0ex0mm==e，要使它最小，须m=0. x0x0x0∴y的最小值在Px0，y0处，为e. 此时，点Px0，y0在xy=ex上A,B之间.

当（x，y）对应点C时，

y=4x5y=205xyy∴的最大值y=7x=7，xxy=53x4y=2012x第

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在C处，最大值为7.

∴

yb的取值范围为e， 7，

即的取值范围是e， 7

ax4. “平面区域的面积”型考题

14、选D；【解析】由对称性：yx,y1,(x1)2(y1)21围成的面积与x1,(x1)2(y1)21围成的面积相等，得：AB所表示的平面图形的面积为x1yx,(x1)2(y1)21围成的面积既R2

22yx,y

15、选B；【解析】令axy,bxy，则x11(ab),y(ab)，22bA1OB图 5yAD2代入集合A，易得ab0,ab0,a1，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为1×2×1＝1，∴选B.

2a评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域B所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.

716、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域A，

4其中：

l:xya,l1:xy2,l2:xy1. 当a从－2连续变化到1时，动直线l扫过的平面区域即为l1与l2之间的平面区域，则动直线l扫过A中的那部分平面区域的面积即为四边B-2C1O1l2l-2l1x7形BOCD的面积，由图易知，其面积为：SSABOSADC.

4评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线xya在17、选A；

【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC.

a从－2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键图6x3y44由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

33xy4144(4)1，设ykx与3xy4的交点为D，

2331215则由SBCDSABC知xD，∴yD，

∴23225147k,k，选A.

2233∴S△ABC=y y=kx+

3D C O A x 4y1Ax+y=1OB1x

18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，

要使得恒有axby1成立，只须平面区域顶点A,O,B的坐标都满足不等式第

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图7

axby1，易得0a1,0b1,所以P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1.

评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.

5. “求约束条件中的参数”型考题

xy1019、选D；【解析】

作出不等式组x10所围成的平面区域. 如图所示，由题axy10意可知，公共区域的面积为2；∴|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入ax得a=3，故选D.

点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程ax特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确ax4Cy102By10中含有参数a这个2Ao5y10可变形为y1ax的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解.

420、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可y2x（0,3）行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所xy30以，若直线y2x上存在点(x,y)满足约束条件x2y30，则xm3m2m，即m1。

评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.

21、选C；【解析】区域M是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中A(1,9),B(3,8),C(2,10)，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M,由图易知a1，只须区域M的顶点A,B不位于函A(m,3m)（3,0）3（0，-）2xCy=axBy2x+y-14=0x+2y-19=0数ya图象的同侧，即不等式(a9)(a8)0(a＞0，a≠1)x-y+8=0恒成立，即2a9.

评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.

Ox31图1222、选A；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数ya的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点.

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x

4423、答案[0,]；【解析】

如图10，直线l:ymx,l1:yx，由33题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线l应位于直4线l1与x轴之间（包括直线l1及x轴），即m0，所以m的取34值范围是[0,].

3评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线l的旋转变化中，确定关键的两个yBC-5OA35ll1x图10特殊位置l1、x轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.

24、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用xy的最大值为9，确定区域的边界．

【规范解答】选C．令zxy，则yxz，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距．当z最大值为9时，

yxmy10A(4,5)yxz过点A，因此xmy10过点A，

所以m1．

2xy301O32123(,)77xx3y303yx36. “求目标函数中的参数”型考题

25、选B；【解析】如图，阴影部分△ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，B(3,4)，C(0,1)，

yB(3,4)2x-y=2(0,1)Cox-y=-1图11a法一：，目标函数zax2y对应直线l，直线l的斜率为，在y2轴上的截距为A(1,0)x+y=1xz. ∵目标函数恰好在点(1，0)处取得最小值，

2∴直线l落在的直线x＋y =1按逆时针方向旋转到直线2x－y =2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得－1<a<2，解得－4

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评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要抓住可行域的顶点就是取到最值的点.

26、选A；【解析】在平面直角坐标系中作出直线yx和xy1，再作出直线ymx

(m>1)，由图可1m21m知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值zmax，由已知可解m. m1m1m1m1

7. 其它型考题

27、选A；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中A(2,0),B(4,6),C(0,2)，显然，当直线axbyz过点B(4,6)时，目标函数zaxby(a0,b0)取得最大值12，即4a6b12，

yB23232a3b13ba1325=()()2，选A.

abab66ab66评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数x-y+2=0CoA3x-y-6=0图14x23a,b的等式；求的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本ab不等式解答. 28、答案4；

【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0),(0,2),(,0),(1,4)，由图易知，目标函数在(1,4)取最大值8，所以8ab4ab4，所以ab2ab4，在ab2时是等号成立.所以ab的最小值为4.

综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.

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