1.3 二项式定理（通用）设计意图

1．3．1

二项式定理

预习课本P29～31，思考并完成以下问题

1．二项式定理是什么？

2．通项公式又是什么？

3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？

[新知初探]

二项式定理

二项式定理

二项展开式

二项式系数

二项展开

式的通项

[点睛]

应用通项公式要注意四点

(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；

(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；

(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(

) (2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(

) nkk(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．(

) na－n1n1nkknn(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb

na＋Cnana－－公式右边的式子

Ckn(k＝0,1,2，…，n) nkkTk＋1＝Ckb

na－答案：(1)×

(2)×

(3)×

1x－5的展开式中含x3项的二项式系数为(

) 2．xA．－10

C．－5 答案：D 2x2－35展开式中的常数项为(

) 3．xA．80 C．40 答案：C 4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________．

答案：40

10

二项式定理的应用

B．－80

D．－40

B．10

D．5 [典例]

(1)求3x＋14的展开式；

x(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

[解]

(1)法一：3x＋14

x13＋C4·14

41312212＝C0＋C33x·4(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)·4·4xxxx121＝81x2＋108x＋54＋x＋2．

x143x＋14法二：3x＋＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121＝81x2＋108x＋54＋x＋2．

x5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开

式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[活学活用] 1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(

) A．x4

C．(x＋1)4

B．(x－1)4

D．x4－1 4131解析：选A

(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)＋C4(x＋1)(－1)＋223340444C24(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＝[(x＋1)－1]＝x，故选A．

2．设n为自然数，化简C02n－C12n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cn

n·n·n·n＝________．－－n1nkn0解：原式＝C02n·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cn·2＝(2－1)nn·n2n2－－＝1．

答案：1 二项式系数与项的

系数问题

12x－x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

[典例]

(1)求二项式1x－x9的展开式中x3的系数．

(2)求[解]

(1)由已知得二项展开式的通项为

1r3r6－r6－rrr－Tr＋1＝Cr(2x)·＝2C·(－1)·x3－，

66x29∴T6＝－12·x－．

2∴第6项的二项式系数为C56＝6，

第6项的系数为C5(－1)5·2＝－12．

6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则

1r9－rrr9－2r－Tr＋1＝Crx·＝(－1)·Cx，

99·x令9－2r＝3，得r＝3，

即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84．

[一题多变] 1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．

3－解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr26r·x3－r，

6·2知第四项的二项式系数为C36＝20，

第四项的系数为C3(－1)3·23＝－160．

6·2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．

解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则

Tr＋1＝(－1)r·Crx99·－2r，

令9－2r＝5，得r＝2．

即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36．

求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．

与展开式中的特

题点一：求展开式中的特定项

1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(

) A．－15x4

C．－20ix4

B．15x4

D．20ix4

－定项有关的问题

6rr解析：选A

二项式的通项为Tr＋1＝Cri，由6－r＝4得r＝2．

6x424故T3＝C26xi＝－15x．故选A．

32．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是________．

3ss3r＋2s解析：(1＋2x)3(1－x)5的展开式的通项为2rCr(其中r＝0,1,2,3；s＝3(－1)C5x6r＝0，r＝2，3r＋2s0,1,2,3,4,5)，令＝1，得3r＋2s＝6，所以或所以x的系数是－C35＋6s＝3s＝0.

4C23＝2．

答案：2 题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题

152ax＋3．(山东高考)若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．

x解析：Tr＋1＝Cr(ax2)55·－r551r＝Cr·5－rx10－r．令10－r＝5，解得r＝2．又展开式中5a22xx5的系数为－80，则有C2a3＝－80，解得a＝－2．

5·答案：－2

求展开式中特定项的方法

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，

求解时先准确写出通项，

再把系数和字母分离，

根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，

列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．

层级一

学业水平达标

1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(

) A．9

C．11

B．10

D．8 解析：选C

∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11．故选C．

2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为(

) A．－210 C．－120i

B．210

D．－210i 解析：选A

由通项公式得T7＝C6(－i)6＝－C610·10＝－210．

1x－7的展开式的第4项等于5，则x等于(

) 3．已知x1A．

7C．7 1

B．－

7

D．－7 1314解析：选B

T4＝C37x－x＝5，∴x＝－．

72x－xn的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(

) 4．若二项式A．6 C．12

B．10

D．15 n－1224n－444n－12－解析：选C

∵T5＝C4(x)·＝2·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12．

nnx2212355．(湖南高考)2x－2y的展开式中xy的系数是(

) A．－20 C．5

B．－5

D．20 312x(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3解析：选A

由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C52的系数为－20，选A．

6．(全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案) r－5－r解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr(x)r＝25r·Crx5－．

5(2x)5·2r令5－＝3，得r＝4．

24故x3的系数为254·C45＝2C5＝10．

－答案：10 7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．

1T2＞T1，C62x＞1，11解析：由得1解得＜x＜．

22125T2＞T3，C62x＞C62x.

11答案：12，5

8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案) 10rr37解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cra，当10－r＝7时，r＝3，T4＝C310x10ax，－13则C310a＝15，故a＝．

21答案：

29．若二项式x－的值．

6解：∵Tr＋1＝Cr6xa6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求ax－r－ar＝(－a)rCrx6－3r，

62x3r令6－＝3，则r＝2，得A＝C2a2＝15a2；

6·23r令6－＝0，则r＝4，得B＝C4a4＝15a4．

6·2由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，

所以a＝2．

10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*．

m＝1 ，∴n＝18，

m＝2，m＝18，…，

n＝17，n＝1.

192323121222x2的系数C2．

m＋Cn＝(m－m)＋(n－n)＝m－19m＋171＝m－2＋224∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，

7此时x7的系数为C79＋C10＝156．

层级二

应试能力达标

1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(

) A．－297

C．297

B．－252

D．207 解析：选D

x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．

2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207．

2．使3x＋A．4 C．6 1n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(

) xx

B．5

D．7 －rn解析：选B

由二项式定理得，Tr＋1＝Crn(3x)1r＝Cr3n－rxn－5r，令n－5r＝0，n22xx当r＝2时，n＝5，此时n最小．

3．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(

) A．6 C．8

B．7

D．9 解析：选B

二项式(1＋3x)n的展开式的通项是

nrTr＋1＝Cr·(3x)r＝Cr3r·xr．依题意得

n1n·－C535＝C636，即n·n·nn－1n－2n－3n－4

5！nn－1n－2n－3n－4n－5＝3×(n≥6)，得n＝7．

6！1x2－xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是(

) 4．在A．3 C．5

B．4

D．6 1r2n－rrr2n－3r－解析：选D

通项Tr＋1＝Cr(x)＝(－1)Cnx，常数项是15，则2n＝3r，且nxCrn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D．

2x－x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) 5．x2x－x7展开式中x3的系数，

解析：x4的系数，即2－r7－2r－xr＝(－2)r·Tr＋1＝Crx7r·Cx，

7·7·令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C27＝84．

答案：84

316．在2x－20的展开式中，系数是有理数的项数为________．

21r32r320－rr20－r20－r－解析：Tr＋1＝Cr(2x)＝－·(2)C20·x．∵系数为有理数，∴(2)r202220－r与2均为有理数，

3∴r能被2整除，且20－k能被3整除．

故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20,

∴r＝2,8,14,20．

答案：4 12x＋n的展开式中第m项的系数为bm．

7．记x(1)求bm的表达式；

(2)若n＝6，求展开式中的常数项；

(3)若b3＝2b4，求n．

12x＋xn的展开式中第m项为

解：(1)1Cm·(2x)nn－－m＋1m－1n＋2－2mn＋1－mm－11m－1＝2n＋1－m··C·x，所以b＝2·C．

nmnx12x＋n的展开式的通项为

(2)当n＝6时，x6－r1r6－rr6－2rTr＋1＝Cr·(2x)·＝2·Cx．

66·x依题意，6－2r＝0，得r＝3，

故展开式中的常数项为T4＝23·C36＝160．

(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n2·C22n3·C3n＝2·n，

－－3从而C2n＝Cn，即n＝5．

8．求证：1＋2＋22＋…＋25n1(n∈N*)能被31整除．

－证明：∵1＋2＋2＋…＋225n－125n－1＝

2－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 11n＝C031n＋Cn·31n1＋…＋Cn31＋Cn－1 n·n·－－101＝31(C031n1＋C131n2＋…＋Cn31n1＋C131n2＋…＋Cnn·n·n)，显然Cn·n·n为整数，∴－－－－－－原式能被31整除．