1.3 二项式定理（通用）教案评析

汕头市潮师高级中学教案

授课教师

课 题

吕玉珊

时 间

2018年06月 28日，第十八周

星期

四 第 3 节

高二期末复习课：《二项式定理》

1．知识目标：复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念，会利用通项公式及二项式系数的性质解决有关计算问题.

教学目的

2．能力与情感目标：通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力；

通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。

教学重点与难点

教学方法

教具

教学重点：

二项式定理的应用

教学难点

：

二项式定理及二项式系数性质的灵活应用

借助多媒体辅助教学，采用启发—探究式教学方法

借助多媒体教学，利用教室资源

1课时

课时安排

教学过程

一、知识回顾：

1．二项式定理

0nn－1n－kknn(1)二项展开式：公式(a＋b)n＝Cna＋C1b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*)叫做nana二项式定理．

n－kk(2)二项式的通项：Tk＋1＝Ckb为展开式的第k＋1项．

na2．二项式系数与项的系数

(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数Crn(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数．

(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两n－rr个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Crb. na3.二项式系数的性质

kn－k(1)对称性：当0≤k≤n时，Cn＝Cn. n(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，当n为偶数时，第＋1项的二项式系2n＋1n＋3n数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值222n－1n＋1为C. 或C2n2n02nn024135(3)二项式系数和：Cn＋C1n＋Cn＋…＋Cn＝2，Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2n－1. 二、典型题例讲解

1[例1]

(1)在二项式x2－x5的展开式中，含x4的项的系数是(

) A．10

B．－10

C．－5

D．20 22(2)(2017·武汉模拟)x－x35的展开式中的常数项为(

) A．80

B．－80

C．40

D．－40 (3)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝(

) A．－4

B．－3

C．－2

D．－1

1x－8的展开式中的有理项共有________项．

(4)42x[思维点拨] 二项展开式问题的常见类型及解法

(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．

(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．

(3)在这里我们要学会赋值法的应用形：对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

[例1]

二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和；

(4)各项系数绝对值之和．

[易错提醒]

(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；

(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．

三、练习巩固

1.已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为

(

) A．－20

B．0

C．1 D．20 解析：选D

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以19a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×2×(－1)＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.（学生练习，请一位同学到黑板做题，教师点评）

2．(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案) rr5－rr5－rr解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr(2x)(x)＝2·C·x5－.令5－＝3，得5522r＝4. 44故x3的系数为25－4·C5＝2C5＝10. 答案：10 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以a＝3. 答案：3 4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案) 8－rr解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cry，令r＝7，再令r＝6，得

8x76x2y7的系数为C8－C8＝8－28＝－20.

答案：－20 5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案) 10－rr解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cra，当10－r＝7时，r＝3，所以T4＝10x13373C10ax，则C310a＝15，故a＝. 21答案：

2四、课堂小结 1．求特定项（如常数项，系数最大的项，有理项等），关键是用好通项公式．2．对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是二项式系数和问题的常用解法. 3．利用二项式定理要注意变形的技巧。

五、布置作业：《全优课堂》P65页8-12题