小结优质课一等奖

第1讲

坐标系

2π1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsinθ－4＝2. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 解

(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

2π直线l：ρsinθ－4＝2，

即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0. 22x＋y－x－y＝0，x＝0，(2)由得

x－y＋1＝0，y＝1，π故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，2. 2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标2系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝. 1－sin θ(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程. 解

(1)∵ρ＝x2＋y2，ρsin θ＝y，

∴ρ＝2化为ρ－ρsin θ＝2，

1－sin θ∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4. (2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，

22根据题意＝3·，

1－sin θ01－sin（θ0＋π）π5π解得θ0＝6或θ0＝6，

π5π直线l的极坐标方程θ＝6(ρ∈R)或θ＝6(ρ∈R). π3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝4对称的曲线的极坐标方程. 解

以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角

π坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝4的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，

所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1. π所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ. π4.在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，3，半径r＝3. (1)求圆C的极坐标方程；

→＝2QP→，求动点P的轨(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ迹方程. 解

(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点. π在△OCM中，∠COM＝θ－3，由余弦定理得

π222|CM|＝|OM|＋|OC|－2|OM|·|OC|cosθ－3，

π化简得ρ＝6cosθ－3. (2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，

→→→2→由OQ＝2QP，得OQ＝3OP，

2∴ρ1＝3ρ，θ1＝θ，

代入圆C的方程，得

2ππθ－3，即ρ＝9cosθ－3. ρ＝6cos3x＝tcos α，5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，y＝tsin α其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值. 解

(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.

3x＝x＋y－2y＝0，x＝0，2，联立22解得或

y＝03x＋y－23x＝0，y＝2.2233所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和，. 22(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，

其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α). πα－. 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sin35π当α＝6时，|AB|取得最大值，最大值为4. x＝6cos φ，6.(2017·唐山质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：(φ为参数).以y＝2sin φ原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离. 解

(1)曲线C1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝3. 3π∴ρsinθ＋6＝2. x2y2曲线C2化为6＋2＝1(*) 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式

ρ22ρ22得cosθ＋sinθ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. 6262∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝. 1＋2sin2θ31(2)∵M(3，0)，N(0，1)，∴P，，

22π∴OP的极坐标方程为θ＝6，

ππ3π把θ＝6代入ρsinθ＋6＝2，得ρ1＝1，P1，6. 

π把θ＝6代入ρ2＝

π62，得ρ2＝2，Q2，. 61＋2sinθ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.