3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计案例

3.2.2 复数的代数形式的乘除运算

教学目标：掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则. 对复数除法法则的运用. 乘法的运算法则与运算律. 共轭复数的定义是什么

教学重点：掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则

教学难点：对复数除法法则的运用

教学过程：[来源:学科网ZXXK]

一、复习准备：

已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 1.加法、减法的运算法则 (a+bi)±(c+di) =________________. 2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C 交换律：z1+z2=z2+z1, 结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 3.复数加、减的几何意义

已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应. y Z2(c，d) Z Z1(a，b) o 向量OZ1+OZ2

x

z1+z2

y Z2(c，d) Z1(a，b) o

x

向量OZ1-OZ2

z1-z2

4.复数模的几何意义：

已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) |z1-z2|表示：_______________________. 特别地，|z|表示：______________________. 如：|z+(1+2i)|表示：________________________________. y Z2(c，d) Z1(a，b) o x

二、新课探究：

探究点1 复数乘法运算

我们规定，复数乘法法则如下：

设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：

(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i

注意：两个复数的积是一个确定的复数. 探究点2 复数乘法的运算律

复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？

请验证乘法是否满足交换律? 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2

=(ac-bd)+(ad+bc)i 所以

z1·z2=z2·z1

乘法运算律

对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有

z1·z2=z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i 例2 计算:(1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2. 【总结提升】

（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；

（2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的．

探究点3 共轭复数的定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身. 记法：复数z=a+bi

的共轭复数记作

z=a-bi 思考：若z1，z2是共轭复数，那么

（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

（２） z1·z2是一个怎样的数？

探究点4 共轭复数的相关运算性质

zza2b2|z|2|z|2

z1z2z1z2

z1z2z1z2

zRzzz为纯虚数z0,且zz

探究点5 复数除法的法则

类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.

满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi

叫做复数abi除以复数cdi的商.

abi记作：(abi)(cdi)或cdi

因为

(cdi)(xyi)abi

所以

(cxdy)(dxcy)iabi

acbdx

c2d2cxdya

所以ybcaddxcyb

c2d2

acbdbcad所以(abi)(cdi)2i(cdi0).

cd2c2d2

复数除法的法则是: acbdbcad(abi)(cdi)2icd2c2d2

(cdi0).

方法:在进行复数除法运算时,通常先把

abi(abi)(cdi)写成的形式,再把分子与分母都乘

cdi

以分母的共轭复数cdi,化简后就可得到上面的结果.

这与作根式除法时的处理是很类似的.在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”. 例3 计算(12i)(34i).

课堂练习;

课堂小结：

1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化.