小结ppt课件教学实录

不等式小结的教学设计

天津市第四十一中学

李晶

整体设计

本章知识网络

三维目标

1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见a＋b问题；理解并掌握均值不等式≥ab(a＞0，b＞0)的应用方法与技巧．

22．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．

3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．

重点难点

教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．

2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．

3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．

教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解

函数最值的正确运用．

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．

思路2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．

推进新课

新知探究

提出问题

1本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？2怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？

a＋b3均值不等式≥ab的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？24“三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a＋b≥ab(a＞0，b＞0)．

2由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体a＋b课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式≥ab(a＞0，2b＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解. Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

ax2＋bx＋c＝0的根

ax2＋bx＋c＞0的解

集

ax2＋bx＋c＜0的解

集

由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．

－b±Δx1,2＝

2a

bx1＝x2＝－

2a

Ø

应用示例

例1已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|| x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝Ø，(2)A∩BC，分别求出m的取值范围．

活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．

解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，

欲使A∩C＝Ø，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5. m－1≤1，m≤2，(2)欲使A∩BC，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，只需即即1≤m≤2. m＋1≥2，m≥1，

点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．

变式训练

设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有__________个元素．

答案：6 解析：由(x－1)2＜3x＋7可得－1＜x＜6，结合题意可得A＝(－1,6)．

例2若正数x、y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．

活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值

不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．

6x＋5y解：∵x、y为正数，则6x、5y也是正数，∴≥6x·5y＝30xy，

23654当且仅当6x＝5y时，取“＝”．∵6x＋5y＝36，则30xy≤，即xy≤.∴xy的最大2554值为. 5点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝36－6x.代入xy，51636得xy＝x·(36－6x)＝－x2＋x(x＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师555可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．

变式训练

23

已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是__________．

xy23解法一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2xy23·. xy23∴xy≥6，当且仅当＝＝1，即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6. xy23π23

解法二：令＝2cos2θ，＝2sin2θ，θ∈(0，)，∴x＝. 2，y＝xy22cosθ2sin2θ∴x·y＝66. 2＝4sinθcosθsin22θ2π∵sin22θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3.∴xy的最小值是6. 4233x3x2

解法三：由＋＝2，得y＝.∴xy＝(x＞1)．

xy2x－22x－13t＋133x213令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.∴＝＝(t＋＋2)≥(22t2t22x－1

当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2.∴xy有最小值6. 答案：6

ax例3不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. x－1活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．

21t·＋2)＝6. t

解法一：将a－1x＋1ax＜1化为＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0. x－1x－1由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，∴[(1－a)x－1](x－1)＞0. 111∴(1－a)x－1＜0，x＞.于是有＝2.解得a＝. 21－a1－a解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0. 依题意，方程(1－a)x2＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，

∴a－2a－1＝3，的意义．

变式训练

1＝2，1－a

1解得a＝. 2点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化x－a

若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝__________. x＋1答案：4

例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？

活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．

200解：设净水池长为x m，则宽为

m，高为h m，则总造价

x200200225f(x)＝400(2x＋2·)·h＋100··h＋60×200＝800h(x＋)＋12 000(x＞0)，

xxx225当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 mx时总造价最低．

点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．

知能训练

1．已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B等于(

) A．[－3，－2)∪(1,2]

B．(－3，－2]∪(1，＋∞) C．(－3，－2]∪[1,2)

D．(－∞，－3)∪(1,2] 2．已知a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若A∩B≠Ø，求a的取值范围．

33．已知关于x的不等式x＞ax2＋的解集是{x|2＜x＜m}，求不等式ax2－(5a＋1)x＋2ma＞0的解集．

4．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0. 5．已知a、b、c、d∈R，求证：ac＋bd≤a2＋b2c2＋d2. 答案：

1．A

解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．

2．解：由f(x)为二次函数，知a≠0.令f(x)＝0，

1解得其两根为x1＝－a112＋2，x2＝＋aa12＋2.由此可知x1＜0，x2＞0. a(1)当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}．

1A∩B≠Ø的充要条件是x2＜3，即＋a(2)当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}．

1A∩B≠Ø的充要条件是x2＞1，即＋a12＋2＞1，解得a＜－2. a162＋2＜3，解得a＞. a76综上，使A∩B≠Ø成立的a的取值范围为(－∞，－2)∪(，＋∞)．

733．解：x＞ax2＋223－x＋＜0,2＜x＜m2－2)(x－m)＜2－(2＋m)x＋2m32a11＜0.对照不等号方向及x2的系数可知a＞0且＝＝，解得a＝，m＝36. 12＋m2m8∴ax2－(5a＋1)x＋ma＞1211x－(5×＋1)x＋36×＞8882－13x＋36＞

(x－4)(x－9)＞＜4或x＞9. 点评：条件中的不等式含参数a，而其解集中又含有参数m，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．

4．解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．

22(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，这时两根的大小顺序为2＞，所以解集aa2为{x|＜x＜2}．

a2(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，①当0＜a＜1时，两根的大小顺序为2a22＜，所以原不等式的解集为{x|x＞或x＜2}；

aa2②当a＝1时，2＝，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}；

a22③当a＞1时，两根的大小顺序为2＞，解集为{x|x＞2或x＜}．

aa2综上所述，不等式的解集为a＝0时，{x|x＜2}，a＝1时，{x|x≠2}，a＜0时，{x|＜xa＜2}，

220＜a＜1时，{x|x＞或x＜2}，a＞1时，{x|x＞2或x＜}．

aa点评：本例应对字母a分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．

5．证明：∵(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2

＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)＋(b2c2－2abcd＋a2d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2，

∴a2＋b2c2＋d2≥|ac＋bd|≥ac＋bd. 点评：能否联想到均值不等式ab≤＋b2)(c2＋d2)的变形问题．

课堂小结

1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？

2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知a＋b或其变形形式上来？关键是探究根号里面的(a22

识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．

作业

本章复习参考题A组1、2、3；B组1、2、3