小结评课稿

3.6 基本不等式习题课

滦县一中

郑亚利

一、教学目标：

知识与技能：

进一步掌握基本不等式abab；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求2某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

过程与方法：

通过例题的研究，进一步掌握基本不等式ab最大、最小值。

情感、态度与价值观：

培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

ab，并会用此定理求某些函数的2二．重点难点 重点：掌握基本不等式ab的最值

难点：用基本不等式abab，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数2ab求最大（小）值的步骤。

2三、教材与学情分析

通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在本大节中是起承上启下作用.在本节课的研究中，将由基本不等式推导出许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美.从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程. 根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）导入新课

（1）利用基本不等式证明不等式

例1

已知m>0,求证246m24。

m[思维切入]因为m>0,所以可把式。

24和6m分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等m[证明]因为

m>0,，由基本不等式得24246m26m224621224

mm当且仅当24=6m，即m=2时，取等号。

m246m=144为定值的前提条件。

m规律技巧总结

注意：m>0这一前提条件和随堂练习1 [思维拓展1]

已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd. [思维拓展2]

求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2. 例2

求证:4a7. a3[思维切入]

由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44a(a3)3.这样变形后,在用基本不等式即可得证. a3a3[证明]

4443(a3)32(a3)32437

a3a3a34=a-3即a=5时,等号成立. a3当且仅当规律技巧总结

通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值

例3 (1) 若x>0,求f(x)4x

(2)若x<0,求f(x)4x[思维切入]本题(1)x>0和4x9的最小值; x9的最大值. x9=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. x解1)

因为

x>0 由基本不等式得

f(x)4x小值12. 9993924x23612,当且仅当4x即x=时, f(x)4x取最x2xxx(2)因为

x<0,

所以

-x>0, 由基本不等式得: 999f(x)(4x)(4x)()2(4x)()23612, xxx所以

f(x)1. 2当且仅当4x939即x=-时, f(x)4x取得最大-12. x2x规律技巧总结

利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2最值练习：解答下列各题：

3（x＞0）的最小值. x1（2）求函数y＝x2＋4（x＞0）的最小值. x3（3）求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值. 2（1）求函数y＝2x2＋（4）求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值. b22(5)设a＞0，b＞0，且a＋＝1，求a1b的最大值. 22师

我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，

我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值. （留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）

解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，333333＞0.∴y＝2x2＋＝2x

2＋xx2x2x9. 2当且仅当2x

2＝3393，即x3时等号成立.故当x3时，y有最小值33. 2x44221x2x211x1433，当且仅当4，即x＝±62时，等号成立.

(2) yx42x22x4x2

故当x＝±62时，y有最小值33(3)∵0＜x＜1. 43xx32x3,∴3－2x＞0.∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）＝1. 234112·2x

2（1－x2）（1－x2）≤

()3＝.22327当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，等号成立. (4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y

2＝x

2（1－x

2）2＝当且仅当2x2＝1－x

2,即x433时，等号成立.∴当x时，y

2有最大值. 2733由题意可知y＞0，故当x323时，y有最大值. 39b21b2221b2322(5)∵a＞0，b＞0，且a

＋＝1，∴a1b2a

(a+

+)=, 222422221b232当且仅当a，b时取“＝”.

,即a2222故当a3232，b时，a1+b2有最大值. 224（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）

2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为

3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定. 设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元. 根据题意有z=150×4800+120(2×3x+2×3y)=240 000+720(x+y).由容积为4 800 m3，

3可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为40 m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是297600元. 六、课堂小结

用基本不等式abab证明不等式和求函数的最大、最小值。

2七、课后作业

1.课时练与测

八、教学反思

本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。