二 一般形式的柯西不等式国家优质课一等奖

一般形式的柯西不等式

靖远县第一中学

王民智

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用柯西不等式分析解决一些问题，体会运用柯西不等式的一般方法。

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

问题1：二维柯西不等式的代数形式（学生甲口述）

设a,b,c,d均为实数，则(ab)(cd)(acbd)，

其中等号当且仅当adbc时成立。

问题2：柯西不等式的向量形式（学生乙口述）

设，为平面上的两个向量，则||||||，

当且仅两个向量共线时，等号成立。

问题3：如何由问题2得出问题1？（学生丙口述）

22222设(a,b),(c,d)，则acbd,a2b2c2d2,(ab)(cd)(acbd)

二、讲授新课：

22222

组织学生进行分组讨论，对探究1（甲组同学展示结果，并证明）、探究2.（乙组同学展示结果）进行分析证明，其中探究2难度较大，可由教师帮助分析证明。

探究1.类比问题3，能否得出三维形式的柯西不等式？

证明：将空间向量的坐标代入||||||，可得到

设(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)，则a1b1a2b2a3b3,2222a12a2a3b12b2b3,

2222a12a2a3b12b2b3a1b1a2b2a3b32222(a12a2a3)(b12b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2

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注：再次强调等号成立的条件。

探究2.猜想并证明N维形式的柯西不等式。

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

证明：当ai0或bi0时，不等式显然成立。

2设a1，a2，，an中至少有一个不为0，则a12a22an0

构造二次函数：

2f(x)(a12a22an)x22(a1b1a2b22+anbn)x(b12b22bn)

22f(x)(axb)(axb)1122

所以，(anxbn)20

由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

即：4(a1b1a2b2化简得：(a12a222anbn)2-4(a12a222an)(b12b22bn)0，

an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

当且仅当f(x)有唯一零点时，以上不等式取等号。

此时，有唯一解x，使aixbi0(i1,2,

若x=0，则b1b2,n)=bn0不等式成立。,n)时，等号成立

,n)时，等号成立

若x0，则ai=kbi(i1,2,总之，bi=0或ai=kbi(i1,2,定理：（一般形式的柯西不等式）：

设a1,a2,a3,(aa2122,an,b1,b2,b3,a)(bb2n2122,bn是实数，则b)(a1b1a2b2

2n2anbn)，

当且仅当bi0(i1,2,使得aikbi(i1,2,,n)或存在一个数k，,n)时,等号成立结构特征：平方和的乘积不小于乘积和的平方

配凑出合理的柯西不等式：

1.(a2b2c2d2)(2.(x2y2z2)()≥(abbccdda)2

)(x2y3z)2

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3.(x1x2三、应用举例：

xn)(11x1x21)(xn)2

例1、

已知a1,a2,,an都是实数，求证：1(a1a2nan)2a12a22an2

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

证明：(12122n(a12a2212)(a12a22an) ≥(1a11a21(a1a2n1an)2an)22an2an) ≥(a1a22an)2≤a12a2

方法

规律

总结：

利用柯西不等式证明不等式时，关键是对原不等式的结构进行分析，

配凑出合理的柯西不等式。

四、巩固练习：

已知a,b,cR,且abc1,求证练习：1.1119

abc2222已知a,b,c,dR,且abcd1,求证abcd

2.1

4当学生应用柯西不等式证明了上述结论，提出是否有其他的方法可以证明以上不等式？

学生课余时间进行分析，可以采用基本不等式证明，然后比较，看看那个更加容易。

五、课堂小结：

1、一般形式的柯西不等式（定理）

2、一般形式的柯西不等式的应用

六、布置作业：

P41习题3.2

2，3，4，5 六、板书设计：

一般形式的柯西不等式

1.

二维形式的柯西不等式：

4.例1

2.三维形式的柯西不等式：

5.例2

3.一般形式的柯西不等式：

6.课堂练习

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